A számelmélet a matematika egyik legősibb, és ennek megfelelően legszerteágazóbb részterülete. Számos híres megoldatlan, ill. a közelmúltban megoldott probléma kapcsolódik hozzá. Közülük sok elemien is megfogalmazható (mint pl. az ikerprímsejtés, a Goldbach-sejtés, vagy a Fermat-sejtés, azaz Wiles tétele), mások pedig kevésbé (mint pl. a Birch és Swinnerton-Dyer sejtés, ill. a Riemann-sejtés). Ezek megoldására tett kísérletek alapvető befolyással voltak a matematika fejlődésére. A modern számelméletben a legkülönfélébb módszereket használnak: (komplex) analízis, algebra, (algebrai) geometria, valószínűségszámítás, kombinatorika. Ennek a bevezető előadásnak nyilván nem célja a fenti problémák megoldása, sőt, az utóbbiak esetében még a kimondása sem. Ugyanakkor ízelítőt szeretnénk adni a számelmélet főbb területeiből és módszereiből is.
Az algebra kurzusok során először klasszikus, majd lineáris, végül absztrakt algebrát tanulunk. Az oktatás célja egyfajta gondolkodásmód és az algebrai módszerek bemutatása, a feladatmegoldási készség fejlesztése. Intenzív gyakorlaton feltételezzük, hogy ez részben már megtörtént középiskolában, a Középiskolai Matematikai Lapok és középiskolás versenyfeladatok segítségével.
A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.
A ZH-k hetének kivételével minden héten lesz egy kötelezően beadandó házi feladat, várhatóan összesen 11. Mindegyik házi feladat hibátlan megoldása 5 pontot ér. Az elégséges gyakorlati jegyhez a házi feladatokból is el kell érni legalább 20 pontot összesen. Lesznek a félév során nehezebb (csillagos) feladatok is, ezeket a félév során bármikor be lehet adni (nemcsak a kitűzést követő órán), egészen addig, amíg valamelyik gyakorlaton/előadáson meg nem beszéljük (ez többnyire egyáltalán nem fog megtörténni). A csillagos feladatok helyes megoldása is 5-5 pontot ér. A csillagos feladatokért járó pontok nem számítanak bele a házifeladatokra vonatkozó minimumkövetelménybe, de a gyakorlati jegybe természetesen beszámítanak.
Amennyiben valaki az összes minimumkövetelményt teljesíti, gyakorlati jegye 60 ponttól elégséges (2), 90 ponttól közepes (3), 120 ponttól jó (4), 150 ponttól jeles (5). A ponthatároktól a gyakorlatvezető (a hallgató számára kedvező irányban) eltérhet az órai munka alapján.
Ennek a félévnek az anyagát lényegében lefedi a három lenti (ingyenesen elérhető) könyv első néhány fejezete.
1. hét: szeptember 13-14. Bevezetés. Miről szól az algebra? Miről szól a számelmélet?
Természetes számok, egész számok, oszthatóság. Egységek, prímszámok, a számelmélet alaptétele (egyértelműség bizonyítása később). Végtelen sok prím van.
Polinomok (\(\mathbb{R}\) fölött). Polinomok egyenlősége, együtthatói, konstans tagja, foka, főegyütthatója, normált polinom, a nullapolinom. Polinomok összege, különbsége, szorzata, a szorzat együtthatói. Az összeg és a szorzat foka, nullosztómentesség.
Behelyettesítés polinomba. Gyök, a gyöktényező kiemelhetősége. A Horner elrendezés, és szerepe a gyöktényező kiemelésénél. A különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezők egyszerre is kiemelhetők. A gyökök száma legfeljebb a polinom foka. A polinomok azonossági tétele (megjegyzés: csak a nullosztómentességet használtuk és hogy végtelen sok szám van!). A polinom és a polinomfüggvény fogalma közti különbség. A polinom formális deriváltja.
2. hét: szeptember 20-21. Racionális gyökteszt (gyakorlaton). A \(k\)-szoros gyök fogalma, kapcsolata a deriválttal.
Nincs minden polinomnak valós gyöke, a komplex számok szükségessége, bevezetésük \(a+bi\) alakú formális kifejezésként. Valós és képzetes rész, egyértelműség. Összeadás, kivonás, szorzás. Asszociativitás, kommutativitás, disztributivitás, testaxiómák. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani. Konjugált, abszolút érték, kapcsolatuk, tulajdonságaik. Nullosztómentesség. Gyűrűaxiómák, integritási tartomány/"szokásos gyűrű" fogalma, példák.
A Gauss-féle számsík. A komplex számok összeadása a vektorösszeadásnak felel meg. Komplex szám hossza, szöge és trigonometrikus alakja. Szorzásnál a szögek összeadódnak, a hosszak összeszorzódnak. A háromszög-egyenlőtlenség. Elemi geometriai alkalmazások, mackósajtos feladat (gyakorlaton).
Komplex számok hatványozása. Gyökvonás komplex számból. A gyökök száma és elhelyezkedése. Az egységgyökök fogalma, száma, képlete. Nem nulla komplex szám rendje, mint a különböző hatványainak a száma, primitív egységgyökök.
3. hét: szeptember 27-28. Egész számok, illetve polinomok maradékos osztása, euklideszi algoritmus. A kitüntetett közös osztó felírása lineáris kombinációként.
Prímek és felbonthatatlanok, az egész számok körében ezek megegyeznek. Az egyértelműség bizonyítása a számelmélet alaptételében. \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\)-ben a \(2\) felbonthatatlan, de nem prím. A számelmélet alaptétele sem teljesül ebben a számkörben, hiszen \(2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\) két lényegesen különböző felbontása a \(6\)-nak. Kanonikus alak, osztók száma, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös töbszörös leolvasása. Legendre-formula a faktoriális prímfelbontására.
A számelmélet alaptétele (valós, komplex, illetve racionális együtthatós) polinomokra is igaz. A prímfelbontás analogonja: gyöktényezős alak. Az algebra alaptétele (NB). Az \(x^n-1\) polinom gyöktényezős alakja (gyakorlaton).
4. hét: október 4-5. Kongruenciák, az alapműveletek értékének maradéka csak a tényezők maradékától függ. Kongruenciák egyszerűsítése. Hatványozás gyűrűben, azonosságok, gyűrűelem egész számszorosa. Nullosztó, minden test nullosztómentes. A \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) gyűrű definíciója, ez pontosan akkor nullosztómentes ha test, és ez akkor igaz, ha \(n\) prímszám.
Teljes és redukált maradékrendszerek, az Euler-féle \(\varphi\)-függvény és meghatározása a kanonikus alakból. Az Euler-Fermat tétel. Az \(x^{p-1}-1\) polinom gyöktényezős alakja \(\mathbb{F}_p\) fölött, következmény: Wilson tétel.
Lineáris kongruenciák megoldhatósága. Lineáris diofantikus egyenletek megoldása euklideszi algoritmussal.
5. hét: október 11-12. Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. Ha egyértelmű a megoldás, akkor az egyenletek száma legalább annyi, mint az ismeretlenek száma. Következmény: homogén egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása, ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen.
Az \(n\) magas (komplex) oszlopvektorok "tere", összeadás, skalárral szorzás. A mátrix általános fogalma, műveletek: összeadás, szorzás, skalárral szorzás, transzponált, műveleti tulajdonságok. Mátrix és vektor szorzata. Motiváció: lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja. Mátrixgyűrű test (illetve gyűrű) felett. Az inverz mátrix kiszámítása Gauss-eliminációval.
Ha egy kommutatív gyűrűben minden elem \(p\)-szerese nulla, akkor tagonként lehet \(p\)-edik hatványra emelni (\(p\) prím). Következmény: a kis Fermat-tétel.
6. hét: október 18-19. A harmad- és negyedfokú egyenlet megoldási módszere, Cardano képlet. Casus irreduciblis, diszkusszió. A minimum 5-ödfokú egyenletre nincs gyökképlet (NB).
Permutáció, inverziók, előjel. Az előjelek szorzástétele. A páros permutációk száma, a szimmetrikus és az alternáló csoport. Ciklusfelbontás (gyakorlaton).
Az első évfolyamzárthelyi október 20. péntek 16-18 óráig, D-0-803 az 1-5. heti előadások anyagából: ennek fejében elmarad minden csoport egyik gyakorlata a ZH hetén (helyette kérésre konzultáció a gyakorlat helyén és idejében)
7. hét: október 25-26. Előjeles mérték, a paralelepipedon térfogata. A determináns definíciójának egyértelműsége. A determináns alaptulajdonságai, kiszámítása Gauss-eliminációval.
A transzponált mátrix determinánsa. Következmény: az oszlopokra teljesülő tulajdonságok a sorokra is érvényesek. A determinánsok szorzástétele.
Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel. A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Következmény: négyzetes mátrixokra \(MN=E\) akkor és csak akkor, ha \(NM=E\).
8. hét: november 8-9. A Cramer-szabály és megfordítása. Vandermonde-determináns (gyakorlaton). Mátrix rangja (vezéregyesek száma Gauss-elimináció után), ez nem függ a Gauss-elimináció módjától. Összefüggés négyzetes mátrix rangja és determinánsa között.
Pitagoraszi számhármasok. Néhány elemi módszer diofantikus egyenletek megoldására (gyakorlaton). Mese a Fermat-sejtésről, megoldás \(n=4\)-re (NB, gyakorlaton csillagos).
Nevezetes számelméleti függvények: \(\omega(n), \Omega(n), d(n), \sigma(n), \varphi(n)\). Additív és multiplikatív számelméleti függvények, kapcsolatuk. Összegzési függvény, multiplikatív függvény összegzési függvénye. A Möbius-függvény, összegzési függvénye, megfordítási formula. Tökéletes számok (gyakorlaton).
9. hét: november 15-16. Szimultán kongruenciarendszerek (kínai maradéktétel). Kongruenciák visszavezetése prímhatványalapú kongruenciákra. Hensel-lemma.
A Lagrange-interpoláció, kapcsolat a kínai maradéktétellel.
A gyökök és együtthatók közötti összefüggések (részben gyakorlaton). Egységelemes, kommutatív gyűrű feletti polinomgyűrű, a többhatározatlanú polinom rekurzív definíciója. Fok, homogén polinom, lexikografikus rendezés. A szimmetrikus polinomok alaptétele, egyértelműség.
10. hét: november 22-23. Hatványösszegek, Newton-Girard-formulák.
Az irreducibilitás jellemzése test fölötti polinomokra. Összefüggés gyök létezése és az irreducibilitás között test fölötti első, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében. Az irreducibilis polinomok \(\mathbb{C}\) fölött pontosan az elsőfokúak. \(\mathbb{R}\) fölött egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú, vagy ha másodfokú, de nincs valós gyöke.
Primitív polinom, Gauss-lemma, a \(\mathbb{Z}[x]\) irreducibiliseinek leírása. Racionális együtthatós polinomok Newton-poligonja, ennek segítségével irreducibilitási kritérium. Speciális eset: a Schönemann-Eisenstein kritérium. Következmény: racionális fölött akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik.
11. hét: november 29-30. A körosztási polinom definíciója és rekurzív kiszámítása. A körosztási polinom egész együtthatós és irreducibilis. Alkalmazás: Dirichlet tételének \(nk+1\) esete.
12. hét: december 6-7. Rend, primitív gyök, index, diszkrét logaritmus, kapcsolat a körosztási polinommal. Hatványmaradékok, kvadratikus maradékok. Legendre-szimbólum, Euler-lemma. A kvadratikus reciprocitási tétel (NB), Jacobi-szimbólum, mint eszköz a Legendre-szimbólum kiszámítására.
A rezultáns. A diszkrimináns. Valós együtthatók esetén összefüggés a diszkrimináns előjele és a valós gyökök száma között.
13. hét: december 13-14. A két- és négy négyzetszám tétel.
A \(\pi(x)\) alsó és felső becslése. Csebisev tétele. A prímek reciprokösszege.
A második évfolyamzárthelyi december 15. péntek 16-18 óráig, D-0-803 az 6-12. heti előadások anyagából: ennek fejében elmarad minden csoport egyik gyakorlata a ZH hetén (helyette kérésre konzultáció a gyakorlat helyén és idejében)