Ez a kurzus bevezetést szeretne nyújtani a matematika egyik legrégebbi területébe, az algebrai számelméletbe. Annak ellenére, hogy a Fermat-sejtést - mely többszáz éven keresztül az algebrai számelméleti kutatás fő motivációját szolgálta - 20 éve bebizonyította Andrew Wiles, a terület azóta is rohamosan fejlődik. Célunk természetesen nem lesz olyan ambíciózus, hogy a fenti sejtést igazoljuk, hanem inkább egy klasszikus eredményre, az ún. Kronecker-Weber-tételre fogunk koncentrálni. Ez azt mondja ki, hogy ha a \(\mathbb{Q}\subseteq F\subset\mathbb{C}\) véges testbővítés normális, és a \(\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})\) Galois csoportja kommutatív, akkor van egy olyan \(n\) egész szám, melyre \(F\subseteq \mathbb{Q}(\zeta_n)\), ahol \(\zeta_n\) egy primitív \(n\)-edik egységgyök. A kurzus egyik fő célja, ennek a tételnek a bizonyítása, melynek során megismerjük az algebrai számelmélet alapvető fogalmait és módszereit. A tételt az ún. ,,lokális'' (a \(p\)-adikus számok \(\mathbb{Q}_p\) testére vonatkozó) Kronecker-Weber-tételből bizonyítjuk, rámutatva a lokál-globál elv fontosságára a számelméletben.
1. előadás: szeptember 12. Bevezetés. A kvadratikus reciprocitási tétel bizonyítása Gauss-ciklusokkal.
Egész elemek gyűrűbővítésben, ezek részgyűrűt alkotnak. Egész lezárt.
2. előadás: szeptember 16. Nyom, norma, Hilbert 90-es tétele, a normál-bázis tétel. Bázis diszkriminánsa. Egész bázis, számtestek diszkriminánsa. Törtideálok, mint végesen generált \(\mathcal{O}_K\)-részmodulusok, ezek diszkriminánsa, kapcsolat az indexszel. \(\mathcal{O}_K\) Dedekind gyűrű, azaz noether, egészre zárt, és 1-dimenziós (minden nem nulla prímideál maximális).
3. előadás: szeptember 19. Dedekind gyűrűben egyértelmű prímfelbontás a(z tört)ideálokra. Osztálycsoport.
\(\mathbb{Z}\)-rácsok \(\mathbb{R}^n\)-ben, fundamentális tartományok. Térfogat. Minkowski-féle rácsponttétel.
4. előadás: szeptember 26. Konjugálás-invariáns bilineáris forma \(K_{\mathbb{C}}=K\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{C}\)-n, \(K_{\mathbb{R}}\subset K_{\mathbb{C}}\) a konjugálás-invariáns altér mint Minkowski-tér. Az \(\mathcal{O}_K\) által meghatározott rács, ennek fundamentális tartományának a térfogata. Abszolút norma, az osztályszám végessége. Alsóbecslés a diszkriminánsra. Dirichlet-féle egységtétel (gyakorlaton).
5. előadás: október 3. Kommutatív gyűrű prímidieáljánál vett lokalizálás. Diszkrét értékelésgyűrűk (DVR), Weierstrass előkészítési tételének analógja. Értékelések. Dedekind gyűrű lokalizáltja is Dedekind, sőt, egy noether-féle integritási tartomány pontosan akkor Dedekind, ha lokálisan DVR. Osztálycsoport és a lokalizálás kapcsolata (egzakt sorozat). Egy prím akkor és csak akkor ágazik el, ha osztója a diszkriminánsnak.
6. előadás: október 10. Dedekind gyűrűk bővítései. Prímideálok felbontása a nagyobb gyűrűben, elágazási index, inerciafok. Fundamentális egyenlet. Teljesen felbomló, elágazásmentes, illetve, teljesen elágazó prímek. Egyszerű gyűrűbővítés esetén kapcsolat a minimálpolinom mod p felbontásával. Galois-bővítés esetén Galois-hatás a p feletti prímeken, tranzitivitás.
7. előadás: október 15. Hilbert-féle elágazáselmélet, felbontási részcsoport a Galois-csoportban, felbontási test. Homomorfizmus a mod p Galois-csoportba, inerciarészcsoport, Frobenius felemelt. Körosztási testek, Fermat-sejtés reguláris prímekre (gyakorlaton).
8. előadás: október 17. Abszolútértékek, approximáció. Arkhimédeszi és nem-arkhimédeszi értékelések, ultrametrika. Ostrowski tétele \(\mathbb{Q}\) értékeléseiről. Kapcsolat a DVR-ekkel. Telítés, a p-adikus számok teste. Egész elemek.
9. előadás: október 24. Projektív és injektív limesz, egzaktsági tulajdonságok. Nemüres kompakt halmazok inverz limesze nemüres és kompakt. Hensel lemma.
10. előadás: november 7. Multiplikatív (Teichmüller-) reprezentánsok. Értékelések kiterjesztése, egyértelműség. Lokális testek. p-adikus log és exp, a multiplikatív csoport leírása. Newton-poligonok.
11. előadás: november 14. Hensel-féle testek, szelíden elágazó bővítések, magasabb elágazási részcsoportok.
12. előadás: november 21. A lokális Kronecker-Weber tétel bizonyítása.
13. előadás: november 28. A globális Kronecker-Weber tétel bizonyítása.
14. előadás: december 5. További témák, kitekintés (analitikus módszerek, osztálytest-elmélet, Langlands-program).
A gyakorlaton az előadáshoz kapcsolódó feladatokat fogunk megoldani. A feladatokat mindig az előadás hetén fogom kiosztani, de megbeszélni csak a következő héten fogjuk őket, ezek mind "házi feladatok", melyek beadásával lehet megszerezni a gyakorlati jegyet.