A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.
1. előadás: február 14. Testbővítések, fokszámtétel. Az egyszerű testbővítések szerkezete algebrai elemmel való bővítés esetén. A bővítés foka egyenlő a minimálpolinom fokával. Az egyszerű testbővítés, mint faktorgyűrű, egyszerű testbővítés konstrukciója.
\(K\)-homomorfizmusok, \(\operatorname{Hom}_K(K(\alpha),L)\) mint halmaz azonosítása \(\alpha\) minimálpolinomjának \(L\)-beli gyökeinek halmazával. Tökéletes testek, \(p\)-karakterisztikájú test pontosan akkor tökéletes, ha a \(p\)-Frobenius szürjektív.
2. előadás: február 21. Szeparábilis elemek, jellemzésük \(\operatorname{Hom}_K(K(\alpha),\overline{K})\) elemszámával. \(K\)-homomorfizmusok kiterjesztése, \(|\operatorname{Hom}_K(L,M)|\leq |L:K|\). Ha \(\alpha\) szeparábilis, akkor \(K(\alpha)\) minden eleme az. Szeparábilis elemek résztestet alkotnak. Minden véges szeparábilis bővítés egyszerű. (Biz csak 5-ösért) Felbontási test fogalma. Normális bővítések, jellemzésük \(\operatorname{Hom}_K(L,L)\)-lel. Galois-bővítések, ezek Galois-csoportja: \(\operatorname{Hom}_K(L,L)\). A körosztási test foka és Galois-csoportja. Egy elem \(n\)-edik gyökével vett bővítésnek a Galois csoportja, ha az alaptest tartalmazza az \(n\)-edik egységgyököket.
3. előadás: február 28. A Galois-elmélet főtétele. Közbülső testek és részcsoportok kapcsolata. A Galois-csoport mint a polinom gyökeinek permutációcsoportja.
A felbontási test konstrukciója és egyértelműsége. Minden testnek létezik algebrai lezártja , és az izomorfia erejéig egyértelmű, de maga az izomorfizmus nem kanonikus (biz. csak az 5-ösért).
4. előadás: március 7. Véges testek elemszáma, létezése, egyértelműsége. Minden véges test tökéletes. Véges test véges bővítése mindig normális, a Galois-csoport ciklikus, a Galois-csoport generátoreleme, a közbülső testek száma és foka. A kvadratikus reciprocitási tétel bizonyítása Gauss-ciklusokkal. ( Biz. csak 5-ösért) A Kronecker-Weber tétel (NB).
Wedderburn tételének bizonyítása (minden véges ferdetest kommutatív).
5. előadás: március 14. Geometriai szerkesztések. Az alapadatok által generált test. A szerkesztési lépések és a másodfokú bővítések kapcsolata. Komplex szám szerkeszthetősége. A szerkeszthető számok jellemzése: minimálpolinomjuk felbontási testének foka az alaptest felett 2-hatvány. Konkrét szerkesztési feladatok megoldhatatlansága: kockakettőzés, szögharmadolás, körnégyszögesítés (NB). Szabályos sokszögek szerkeszthetősége.
Nulla karakterisztikájú test gyökökkel elérhető bővítése, a gyökkifejezés fogalma (erős és gyenge értelemben). Ha egy szám tágabb értelemben vett gyökkifejezés, akkor a minimálpolinomjának a Galois-csoportja feloldható. Az \(x^5-4x+2\) polinom Galois-csoportja \(S_5\) (Gy), és így nem oldható meg gyökjelekkel. Következmény: a legalább ötödfokú egyenletre nincs általános megoldóképlet.
6. előadás: március 21. Kummer-elmélet (ha az alaptest tartalmazza a \(n\)-edik egységgyököket, akkor minden \(Z_n\)-nel izomorf Galois csoportú bővítés \(n\)-edik gyök hozzávételével kapható). Artin-Schreier bővítések pozitív karakterisztikában (GY). Minden egységgyök gyökkifejezés. A gyökökkel megoldható polinomok jellemzése a Galois-csoport feloldhatóságával.
Egész elemek integritási tartomány fölött gyűrűt alkotnak. Minden algebrai elem egy egész és egy alapgyűrűbeli elem hányadosa. Minden alaptételes gyűrű egész-zárt.
7. előadás: március 28. Ha egy testbővítés végesen generált, mint gyűrűbővítés, akkor algebrai. Következmény: algebrailag zárt test feletti \(n\)-változós polinomgyűrű minden maximális ideálja ponthoz kötött. Hilbert nullhelytétele. A Zariski-topológia alaptulajdonságai (az affin tér \(T_1\), noether, és kompakt, de nem Hausdorff).
Első évfolyamzárthelyi az 1-6. előadások anyagából: április 4., 9:00-11:00 Előtte 45 perc konzultáció, utána 45 perc előadás.
8. előadás: április 4. (45 perc) Ha \(I\lhd\mathbb{C}[x_1,\dots,x_n]\) egy ideál, akkor \(\sqrt{I}\) előáll az \(I\)-t tartalmazó maximális (ill. prím-) ideálok metszeteként. A Jacobson radikál, mint a maximális balideálok metszete, ill. az egyszerű bal-modulusok annullátorának metszete, tehát ideál. Nakayama-lemma. \(J(R)\) azon \(x\)-ek halmaza, melyekre \(1-ax\) invertálható minden \(a\in R\)-re. Ekkor \(1-axb\) is invertálható, mivel \(J(R)\) ideál. Következmény: \(J(R)\) bal-jobb szimmetrikus, és tartalmaz minden nilbalideált.
Második évfolyamzárthelyi az 1-10. előadások anyagából: május 9. (PÉNTEK), 9:00-11:00 (D-3-219). Május 8. (csütörtök) 9-11 (D-3-219) konzultáció.
12. előadás: május 16. (10:00-11:40, 90 perc, a gyakorlat a ZH fejében elmarad) Kategóriák és funktorok. Példák.
A vizsgán mindenki egy tételpárt húz. Ezek egyike egy bizonyítás ismertetése, a másik néhány tételt felölelő téma, ahol a definíciókat, az eredmények összefüggéseit kell elmondani (de a bizonyításokba itt is belekérdezhet a vizsgáztató). Az átmenéshez mindkét tételt legalább elégséges szinten tudni kell.
| [1] | Freud Róbert:
Lineáris Algebra (ELTE kiadó). |
|---|---|
| [2] | Fagyejev-Szominszkij:
Felsőfokú algebrai feladatok (TypoTeX kiadó, 2000). |
| [3] | Kiss Emil:
Bevezetés az algebrába (TypoTeX kiadó, 2007) |
| [4] | Szendrei-Czédli-Szendrei:
Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó). |
| [5] | Fried Ervin:
Algebra I-II (Tankönyvkiadó). |
|---|---|
| [6] | Freud Róbert,
Gyarmati Edit: Számelmélet (Tankönyvkiadó). |
| [7] | Fuchs László:
Algebra (egyetemi jegyzet). |
| [8] | Varga Tamás: Matematikai logika
kezdőknek I-II (Tankönyvkiadó). |
| [9] | Rényi Alfréd:
Ars Mathematica (Magvető Könyvkiadó). |
| [10] | Péter Rózsa:
Játék a végtelennel (Tankönyvkiadó). |
| [11] | James Milne:
Fields and Galois Theory. |
| [12] | Philippe Gille, Tamás Szamuely: Central simple algebras and Galois cohomology
(2nd Ed., Cambridge Studies in Advanced Mathematics 165). |
A gyakorlat kis csoportokban zajlik, az elméleti anyag megértésére szolgál önálló feladatmegoldás segítségével. A gyakorlatra kötelező járni, egy félévben legfeljebb három hiányzás megengedett. Ha háromnál több hiányzás van, az nem elégtelen gyakorlati jegyet jelent, hanem aláírásmegtagadást, ilyenkor tehát a gyakorlatot újra kell járni, és persze vizsgázni sem lehet. A gyakorlat előtt mindenki nézze át az előadás anyagát, és értse meg a fogalmakat és a tételeket.
Két évfolyamzárthelyit írunk, amelyek hat (esetleg hét) feladatot tartalmaznak, mindegyik 1 pontot ér. A zárthelyin csak egy maximum egy oldalas kézzel írott puska használható. A zárthelyi jegye a pontszám egészrésze, az átmenéshez mindkét zh-n legalább elégségest kell szerezni. Amennyiben mindkét zh-n legalább elégséges jegy született, a gyakorlati jegy minimum a két zh átlagának (alsó) egészrésze. Ennél jobbat órai munka, illetve esetlegesen beadott nehezebb (csillagos feladatok) alapján lehet kapni. Ezeket a feladatokat a félév során kell beadni, és NEM a két zh megírása után, amikor esetlegesen rájöttünk, hogy a gyakorlati jegy nem lesz olyan, mint amilyennek elképzeltük. A javító zh-knak (sok kollégámmal ellentétben, de sok más kollégámmal egyetértésben) nem vagyok híve, mert véleményem szerint a gyakorlati jegy az egész féléves teljesítményt kell tükrözze. Továbbá meggyőződésem, hogy a tananyagot leginkább óráról órára készülve, és nem a zh/vizsga előtt pár nappal lehet elsajátítani. Ennek megfelelően pót-zh-ra csak abban az esetben van lehetőség, ha valaki valamelyik zh-t nem írta meg, viszont egyébként (a zh-ról való hiányzással együtt) nem hiányzott 3-nál többet. A javító zh-t csak rendkívül indokolt esetben tartom elképzelhetőnek, ha valakinek az egyik zh-ja sokkal rosszabbul sikerült, mint a másik, és az órai jó teljesítménye ezt indokolja.
Azoknak, akik (elsőre) elégtelen gyakorlati jegyet szereztek, természetesen lehetőségük lesz egyszeri javítási lehetőségre gyakjegy-UV formájában.