A számelmélet a matematika egyik legősibb, és ennek megfelelően legszerteágazóbb részterülete. Számos híres megoldatlan, ill. a közelmúltban megoldott probléma kapcsolódik hozzá. Közülük sok elemien is megfogalmazható (mint pl. az ikerprímsejtés, a Goldbach-sejtés, vagy a Fermat-sejtés, azaz Wiles tétele), mások pedig kevésbé (mint pl. a Birch és Swinnerton-Dyer sejtés, ill. a Riemann-sejtés). Ezek megoldására tett kísérletek alapvető befolyással voltak a matematika fejlődésére. A modern számelméletben a legkülönfélébb módszereket használnak: (komplex) analízis, algebra, (algebrai) geometria, valószínűségszámítás, kombinatorika. Ennek a bevezető előadásnak nyilván nem célja a fenti problémák megoldása, sőt, az utóbbiak esetében még a kimondása sem. Ugyanakkor ízelítőt szeretnénk adni a számelmélet főbb területeiből és módszereiből is.
1. előadás: március 1. Kombinatorikus számelmélet, néhány elemi módszer (valószínűségi, polinom lemma, generátorfüggvény): Csupa különböző összegek, Cauchy-Davenport \(\mathbb{F}_p\)-beli összeghalmazra, fedőrendszerek. Okostábla pdf
2. előadás: március 8. A Gauss-egészek körében van maradékos osztás, ezért igaz a számelmélet alaptétele. A Gauss-prímek leírása. Alkalmazás: a kétnégyzetszám probléma.
3. előadás: március 22. Három négyzetszám tétel bizonyítása a Hasse-Minkowski tételen keresztül. A Waring problémakör, \(g(k)\), ill. \(G(k)\) alsó becslése. Okostábla pdf
4. előadás: március 29. \(\mathbb{Z}\) fölött adott negatív diszkriminánsú kétváltozós kvadratikus alakok osztályozása \(\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})\)-ekvivalencia erejéig. Azon negatív diszkriminánsok meghatározása, melyekre 1 az osztályszám (bizonyítás csak a páros diszkriminánsú esetben).
5. előadás: április 5. Sidon-sorozatok. Okostábla pdf
6. előadás: április 12. Irracionális számok approximációja. Az algebrai számok nem approximálhatók jól. Transzcendens szám konstrukciója (Liouville). Minkowski rácsponttétele, alkalmazások. Szimultán approximáció. Okostábla pdf
7. előadás: április 19. Approximáció alkalmazása diofantikus egyenletekre: Pell egyenlet, Thue tétele. Baker tétele a logaritmusok függetlenségéről (NB) és alkalmazásai (néhány klasszikus szám transzcendenciája, Gelfond-Schneider). Okostábla pdf
8. előadás: április 26. Az \(e\) és a \(\pi\) transzcendens. Okostábla pdf
9. előadás: május 3. \(p\)-adikus számok konstrukciója. Négyzetelemek \(\mathbb{Q}_p\)-ben. Okostábla pdf
10. előadás: május 10. Hilbert szimbólum és alaptulajdonságai. Racionális szám illesztése adott Hilbert szimbólumokra. Okostábla pdf
11. előadás: május 17. \(\mathbb{Q}_p\), illetve \(\mathbb{R}\) fölötti kvadratikus alakok és értékkészletük. A Hasse-Minkowski tétel bizonyítása. Okostábla pdf
12. előadás: május 24. A Riemann-féle \(\zeta\)-függvény és kapcsolata a prímszámok eloszlásával. A számtani sorozatokban levő prímekre vonatkozó Dirichlet-tétel bizonyításának vázlata. Okostábla pdf