A Cayley-Hamilton tétel és a diagonalizálhatóság jellemzése a minimálpolinommal.
Kézzel írott szkennelt Algebra2 (lineáris algebra) jegyzet.
Segédanyagok az előadáshoz (Kiss Emil diái): elsősorban a normál szintű előadáshoz, de tartalmaz rengeteg, a hivatalos tananyagot meghaladó információt, beleértve az algebra néhány matematikán kívüli alkalmazását
A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.
A ZH-k hetének kivételével minden héten lesz egy kötelezően beadandó házi feladat, várhatóan összesen 11. Mindegyik házi feladat hibátlan megoldása 5 pontot ér. Az elégséges gyakorlati jegyhez a házi feladatokból is el kell érni legalább 20 pontot összesen. Lesznek a félév során nehezebb (csillagos) feladatok is, ezeket a félév során bármikor be lehet adni (nemcsak a kitűzést követő órán), egészen addig, amíg valamelyik gyakorlaton/előadáson meg nem beszéljük (ez többnyire egyáltalán nem fog megtörténni). A csillagos feladatok helyes megoldása is 5-5 pontot ér. A csillagos feladatokért járó pontok nem számítanak bele a házifeladatokra vonatkozó minimumkövetelménybe, de a gyakorlati jegybe természetesen beszámítanak.
Amennyiben valaki az összes minimumkövetelményt teljesíti, gyakorlati jegye 60 ponttól elégséges (2), 90 ponttól közepes (3), 120 ponttól jó (4), 150 ponttól jeles (5). A ponthatároktól a gyakorlatvezető (a hallgató számára kedvező irányban) eltérhet az órai munka alapján.
Első évfolyamzárthelyi:
Időpont: 2024. március 26, 10:00.
Helyszín: Az előadás helyszínén, É0.79.
Mindenkinél legyen 6-7 üres papírlap! Használni egy darab kézzel írott A4-es lapot szabad, más segédeszközt, kalkulátort nem.
Második évfolyamzárthelyi:
Időpont: 2024. május 14, 10:00.
Helyszín: Az előadás helyszínén, É0.79.
Mindenkinél legyen 6-7 üres papírlap! Használni egy darab kézzel írott A4-es lapot szabad, más segédeszközt, kalkulátort nem.
1. előadás: február 13. Vektortéraxiomák. Az altér fogalma és jellemzése a műveletekre való zártság segítségével. A generált altér mint adott elemeket tartalmazó legszűkebb altér; generátorrendszer. A generált altér elemeinek jellemzése: lineáris kombináció.
Véges és végtelen vektorrendszer lineáris függetlensége. A lineáris függés és függetlenség kapcsolata. A függés tranzitivitása, a kicserélési tétel. Független rendszer elemszáma legfeljebb akkora lehet, mint egy generátorrendszeré. A bázis fogalma, elemszámának egyértelműsége, dimenzió.
Alterek összege vektortérben, dimenziójuk. Vektorterek (belső) direkt összege. Direkt kiegészítő létezése.
2. előadás: február 20. Lineáris leképezések. Kép, mag, dimenziótétel, a rang, mint a képtér dimenziója. Mellékosztályok, faktortér. Izomorfizmus, két végesdimenziós vektortér pontosan akkor izomorf, ha ugyanannyi a dimenziójuk. Homomorfizmustétel. \(\mathrm{Hom}(V,W)\) mint vektortér. Duális tér, \(V^{**}\) természetesen izomorf \(V\)-vel, az izomorfizmus nem függ a bázis választásától.
Leképezés mátrixa, \(\mathrm{Hom}(V,W)\) azonosítása az \(n\)-szer \(k\)-as mátrixokkal. Szorzat a kompozíció, mátrixszorzás asszociativitásának új bizonyítása. Áttérés más bázisra.
Egy lineáris transzformáció, illetve négyzetes mátrix diagonalizálhatósága, invariáns alterei, sajátértékei, sajátvektorai, sajátalterei, karakterisztikus polinomja, ennek gyökei a sajátértékek. Algebrai és geometriai multiplicitás, kapcsolatuk. A sajátalterek összege direkt összeg, különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetlenek. Következmény: ha annyi különböző sajátérték van, mint a tér dimenziója, akkor a transzformáció diagonalizálható.
3. előadás: február 27. Mátrix, ill. lineáris transzformáció behelyettesítése polinomba. Van olyan nemnulla polinom, melybe behelyettesítve 0-t kapunk, mégpedig egy legfeljebb \(n^2\)-fokú, ha \(n\) a dimenzió. Azon polinomok, melyeknek a transzformáció gyöke, ideált alkotnak: gyűrű ideáljának fogalma. Főideál, főideálgyűrű, \(\mathbb{Z}\) és \(K[x]\) főideálgyűrűk. Normált generátorelem neve: minimálpolinom.
Testbővítés fogalma, nagyobb test elemének minimálpolinomja a kisebb test fölött, algebrai és transzcendens elemek, példák: \(\sqrt{2},\sqrt[3]{2}\) és \(\sqrt[n]{m}\) algebrai, \(\pi\) és \(e\) transzcendens (NB, de Számelmélet tárgyból 4. félévben). Testbővítés foka, véges fokú bővítésben minden elem algebrai. Fokszámtétel testbővítések tornyára. Következmény: az algebrai elemek résztestet alkotnak. Az egyszerű testbővítések szerkezete algebrai elemmel való bővítés esetén. A bővítés foka egyenlő a minimálpolinom fokával.
Gyűrűhomomorfizmus magja, képe, faktorgyűrű: minden ideál egy alkalmas homomorfizmus magja. Homomorfizmustétel, példák: \(\mathbb{Z}/(n), \mathbb{Q}(\sqrt{2})\cong \mathbb{Q}[x]/(x^2-2), \mathbb{C}\cong\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\), \(\mathbb{F}_9:= \mathbb{F}_3[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{Z}[i]/(3)\), \(\mathbb{F}_4:=\mathbb{F}_2[x]/(x^2+x+1)\). Következmény: elem minimálpolinomja pontosan akkor irreducibilis, ha a generált részalgebra nullosztómentes. Speciálisan testelem minimálpolinomja irreducibilis, de mátrixé nem feltétlenül.
4. előadás: március 5. A Cayley-Hamilton-tétel: minden mátrix illetve transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának.
A sajátértékek gyökei a minimálpolinomnak. A Cayley-Hamilton-tétel következményei: a minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak, és így a foka legfeljebb a dimenzió; a minimálpolinom gyökei pontosan a sajátértékek. A tér direkt összegre való felbontása a minimálpolinom segítségével.
Egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a minimálpolinomja lineáris tényezőkre bomlik, és minden gyöke egyszeres.
5. előadás: március 12. Egy transzformáció akkor és csak akkor nilpotens, ha mátrixa alkalmas bázisban szigorú felsőháromszög-mátrix. Hasonló mátrixok, minden komplex elemű mátrix hasonló egy felső háronszögmátrixhoz. Nilpotens transzformációk normálalakja. A Jordan-normálalak, egyértelműség. A Jordan-normálalak hatványozása.
Példák csoportokra: gyűrű additív, ill. multiplikatív csoportja; ciklikus csoportok; diéder csoport; kvaterniócsoport; Klein-féle négyes csoport; permutációcsoportok (Cayley tétele, miszerint minden csoport permutációcsoport); mátrixcsoportok.
6. előadás: március 19. Részcsoportok, rend, Lagrange tétele, új bizonyítás az Euler-Fermat-tételre.
Permutációcsoport, csoport hatása halmazon. Fok, pálya, stabilizátor, összefüggésük, tranzitivitás. A pályák partíciót alkotnak. A kocka szimmetriáinak a száma. A fixpontok átlagos száma, Burnside lemma.
Csoporthomomorfizmus képe, magja, normálosztó fogalma. Csoport hatása saját magán a konjugálással, konjugáltosztályok.
Első évfolyamzárthelyi az 1-6. gyakorlat anyagából: március 26. (kedd, 10:00-11:55, az előadás idejében, É0.81-es teremben)
7. előadás: március 26. (45 perc) Duális bázis. Bilineáris függvények, mint \(V\to V^*\) leképezések, mátrixuk, a kapcsolat bijektív. A bázistranszformáció képlete. Szimmetrikus bilineáris függvény. Kvadratikus alak, ha \(\mathrm{char}(K)\neq 2\), akkor minden kvadratikus alak egyértelműen kapható egy szimmetrikus bilineáris függvényből.
8. előadás: április 9. Alternáló bilineáris függvények, \(\mathrm{char}(K)\neq 2\) esetén minden bilineáris függvény egyértelműen előáll egy szimmetrikus és egy alternáló összegeként.
Gram-Schmidt ortogonalizáció, szimmetrikus bilineáris függvény mátrixa alkalmas bázisban diagonális. Sylvester tehetetlenségi tétele. A kvadratikus alak karaktere. A definitség és a főminorok. Az \(\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{F}_p\) feletti nemelfajuló szimmetrikus bilineáris függvények száma rendre \(n+1,\infty,2\).
Komplex bilineáris függvény, itt a kvadratikus alak egyértelműen meghatározza a bilineáris függvényt. A kvadratikus alak akkor és csak akkor valós, ha a függvény Hermite-féle. Ortogonalizáció, tehetetlenségi tétel mint valósban.
9. előadás: április 16. Valós és komplex Euklideszi tér, ortonormált bázis, a skaláris szorzat képlete. Ortogonalizáció, direkt kiegészítő altér. A Cauchy-Bunyakovszkij-Schwartz egyenlőtlenség. A háromszög-egyenlőtlenség (gyakorlaton).
Vektor koordinátáinak, transzformáció mátrixának felírása ortonormált bázisban a skaláris szorzat segítségével. Az adjungált transzformáció, jellemzése skaláris szorzattal.
Ha a \(W\) altér \(A\)-invariáns, akkor a \(W^\perp\) ortogonális kiegészítő altér \(A^*\)-invariáns. Komplex felett egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható ortonormált bázisban, ha normális, azaz felcserélhető az adjungáltjával. Normális transzformáció sajátalterei páronként merőlegesek, ezek egyben az adjungált transzformáció sajátalterei is, konjugált sajátértékekkel. Önadjungált, szimmetrikus, unitér és ortogonális transzformációk. Unitér (ortogonális) transzformáció sajátértékei egy abszolút értékűek, önadjungált (szimmetrikus) transzformáció sajátértékei valósak. Egy transzformáció akkor és csak akkor unitér (ortogonális), ha skalárszorzat-tartó, illetve ha távolságtartó, illetve ha ortonormált bázist ortonormált bázisba visz.
10. előadás: április 23. Bilineáris függvényhez tartozó lineáris leképezés. Az \(A\) transzformáció akkor és csak akkor önadjungált (szimmetrikus), ha a hozzá tartozó bilineáris függvény Hermite-féle (szimmetrikus). Ha a bázistranszformációt ortonormált bázisok között végezzük, akkor a mátrixa unitér (ortogonális). Következmények: egy mátrix akkor és csak akkor diagonalizálható unitér transzformációval, ha normális; minden Hermitikus/szimmetrikus bilineáris függvény alkalmas ortonormált bázisban diagonalizálható.
Főtengelytétel: egy valós feletti transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható ortonormált bázisban, ha szimmetrikus. Egy valós feletti transzformáció akkor és csak akkor ortogonális, ha alkalmas ortonormált bázisban a mátrixa forgatásokat tartalmazó kétszer kettes, illetve \(+1\)-et vagy \(-1\)-et tartalmazó egyszer egyes diagonális blokkokra bomlik.
11. előadás: április 30. Valós és komplex mátrixok szingulárisérték-felbontása.
Vektorterek tenzorszorzata, a bilineáris leképezések klasszifikációja. Szimmetrikus és külső hatvány, kapcsolat a determinánssal.
13. előadás: május 14. (45 perc) (amire a fentiből nem jutott idő, kitekintés a további félévekre)
Második évfolyamzárthelyi a 7-12. gyakorlat anyagából: május 14. (kedd, 10:00-11:40, az előadás helyén és idejében)
| [1] | Freud Róbert:
Lineáris Algebra (ELTE kiadó). |
|---|---|
| [2] | Fagyejev-Szominszkij:
Felsőfokú algebrai feladatok (TypoTeX kiadó, 2000). |
| [3] | Kiss Emil:
Bevezetés az algebrába (TypoTeX kiadó, 2007) |
| [4] | Szendrei-Czédli-Szendrei:
Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó). |
| [5] | Fried Ervin:
Algebra I-II (Tankönyvkiadó). |
|---|---|
| [6] | Freud Róbert,
Gyarmati Edit: Számelmélet (Tankönyvkiadó). |
| [7] | Fuchs László:
Algebra (egyetemi jegyzet). |
| [8] | Varga Tamás: Matematikai logika
kezdőknek I-II (Tankönyvkiadó). |
| [9] | Rényi Alfréd:
Ars Mathematica (Magvető Könyvkiadó). |
| [10] | Péter Rózsa:
Játék a végtelennel (Tankönyvkiadó). |