A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.
1. előadás: szeptember 15. Példák csoportokra: gyűrű additív, ill. multiplikatív csoportja; ciklikus csoportok; diéder csoport; kvaterniócsoport; Klein-féle négyes csoport; permutációcsoportok (Cayley tétele, miszerint minden csoport permutációcsoport); mátrixcsoportok.
Részcsoportok, rend, Lagrange tétele.
Permutációcsoport, csoport hatása halmazon. Fok, pálya, stabilizátor, összefüggésük, tranzitivitás. A pályák partíciót alkotnak. A kocka szimmetriáinak a száma.
2. előadás: szeptember 22. Homomorfizmus képe és magja, normálosztó. Komplexusszorzás, faktorcsoport, természetes homomorfizmus. Kettő indexű részcsoport normálosztó (gyakorlaton). A konjugálás, mint automorfizmus. Csoport hatása önmagán konjugálással, konjugáltosztályok. Egy részcsoport akkor és csak akkor normálosztó, ha konjugáltosztályok egyesítése. A centrum.
Homomorfizmustétel. A faktorcsoport részcsoportjai és normálosztói, az izomorfizmus-tételek.
A direkt szorzat fogalma és belső jellemzése véges sok tényező esetén. Teljes és diszkrét direkt szorzat. A véges Abel-csoportok alaptétele, egyértelműség (bizonyítás később, modulusokkal).
3. előadás: szeptember 29. Egy csoport hatása a részcsoportjainak halmazán konjugálással. Részcsoport normalizátora, ennek indexe a részcsoport konjugáltjainak a száma. A \(H\) normalizátora a legnagyobb részcsoport, amiben \(H\) normálosztó. A centralizátor, \(N_G(H)/C_G(H)\) természetes módon részcsoportja \(\operatorname{Aut}(H)\)-nak. \(\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}/(p^n))\) (gyakorlaton).
Cauchy tétele \(p\) rendű elem létezéséről. Kettős mellékosztályok. A \(p\)-Sylow-részcsoport fogalma, a Sylow-tételek. A \(p\)-Sylow részcsoportok száma, ez osztója az indexének. Egy \(p\)-Sylow részcsoport akkor és csak akkor normálosztó, ha csak egy van belőle. Következmény: \(pq\) rendű csoport nem lehet egyszerű.
Csoport hatása normálosztón konjugálással, szemidirekt szorzat. Nemkommutatív \(pq\) rendű csoport konstrukciója alkalmas \(p\) és \(q\) esetén. Példák szemidirekt szorzatra.
4. előadás: október 6. Normállánc, kompozíciólánc. Jordan-Hölder-tétel. Feloldható csoportok. Egy csoport kommutátorrészcsoportja, eszerinti faktorcsoport a legnagyobb Abel-féle homomorf kép, univerzális tulajdonság. A feloldhatóság jellemzése a kommutátorlánc segítségével. A kommutátorlánc elemei karakterisztikus részcsoportok. Prímhatvány rendű csoport feloldható.
5. előadás: október 13. Egyszerű csoportok, \(A_n\) egyszerű, ha \(n>4\).
Szabad csoport. Minden csoport előáll egy szabad csoport faktorcsoportjaként. Csoport megadása generátorokkal és definiáló relációkkal. Dyck tétele. A Nielsen-Schreier tétel (NB).
6. előadás: október 20. Részgyűrű, homomorfizmus, ideál, faktorgyűrű, homomorfizmus-tétel. A komplex számok mint faktorgyűrű. Direkt szorzat. Egységelemes bővítés létezése (GY). Bal- és jobbideál, a generált ideál képlete kommutatív, egységelemes gyűrűben. Egyszerű gyűrűk, minden ferdetest feletti teljes mátrixgyűrű egyszerű (GY). Jobb és bal oldali annullátor. A balideálmentes gyűrűk szerkezete. Következmény: egységelemes kommutatív gyűrű maximális ideálja szerinti faktor test. Zorn-lemma (NB). Krull tétele: egységelemes gyűrű minden valódi ideálja benne van egy maximális ideálban.
7. előadás: október 27. A maximum-feltétel ekvivalens alakjai, kapcsolat a véges generáltsággal. Noether-gyűrű, Hilbert bázis-tétele. Euklideszi gyűrű, ebben minden ideál főideál. Egy egységelemes integritási tartomány akkor és csak akkor alaptételes, ha a főideálokra érvényes a maximum-feltétel és minden irreducibilis elem prím. Következmény: főideálgyűrű, euklideszi gyűrű alaptételes. Példa nem euklideszi főideálgyűrűre (NB); a \(\mathbb{Z}[x]\) alaptételes, de nem főideálgyűrű. Példa nem alaptételes gyűrűre. Az Euler-egészek gyűrűje euklideszi.
8. előadás: november 3. Az Euler-prímek leírása. A Fermat-tétel a 3 kitevőre.
9. előadás: november 10. Nullosztómentes gyűrű elemeinek additív rendje, karakterisztika. Prímtest, szerkezete.
A hányadostest konstrukciója és egyértelműsége.
A modulus fogalma, unitér modulus, példák. Részmodulus, ciklikus modulus, homomorfizmus, faktormodulus, egyszerű modulus. Direkt szorzat és belső jellemzése. A szabad modulusok leírása.
Évfolyamzárthelyi a 1-9. gyakorlat anyagából: november 17. (csütörtök, 14:00-15:55, az előadás helyén és idejében)
10. előadás: november 18. (a gyakorlat helyén és idejében) Minden modulus szabadnak faktormodulusa. Elem, ill. modulus annullátora.
Főideálgyűrű feletti végesen generált modulusok. Kínai maradéktétel. Szabad modulus része is szabad, torziómentes modulus szabad. Az alaptétel, és az egyértelműség. Kapcsolat Jordan-féle normálalakkal, illetve a véges Abel-csoportok alaptételével.
11. előadás: november 24. A főideálgyűrű feletti modulusok alaptételének bizonyítása.
\(\operatorname{Hom}_R(A,B)\) mint Abel-csoport, ha \(R\) kommutatív, akkor \(R\)-modulus. Egzakt sorozatok, kommutatív diagramok. 5-lemma. Projektív, ill. injektív modulusok. Projektív modulusok, mint szabad modulusok direktösszeadandói. Injektív \(\mathbb{Z}\)-modulusok, mint osztható Abel-csoportok.
12. előadás: december 1. Modulusok tenzorszorzata, mint a bilineáris leképezések klasszifikáló csoportja, megadása generátorokkal és relációkkal. Példák: test feletti tenzorszorzat, alapgyűrűvel vett tenzorszorzat, \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)-vel vett tenzorszorzat. Ha \(A\leq B\) Abel csoportok, mikor igaz, hogy \(nA=A\cap nB\)?
13. előadás: december 8. Kategóriák és funktorok. Funktorok közti természetes transzformációk. Példák. Adjungált funktorok, a \(\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M,\cdot)\) és a \(\cdot\otimes_R M\) egymás adjungált funktorai. Következmény: a tenzorszorzat jobbegzakt.
A vizsga szóbeli lesz, célja annak megállapítása, hogy a vizsgázó érti-e az anyagot (ilyesfajta kérdések szerepelhetnek: adjunk példát arra, amikor egy tétel alkalmazható, vagy egy definíció teljesül, szükséges-e egy állítás adott feltétele (ha nem, ellenpéldát kell adni), alkalmazható-e egy definíció egy adott szituációban, alkalmazzunk egy tanult módszert egy konkrét helyzetben). A gyakorlatok (és a konzultációk) segítenek a vizsgára való felkészülésben is.
A vizsgán mindenki egy tételpárt húz. Ezek egyike egy bizonyítás ismertetése, a másik néhány tételt felölelő téma, ahol a definíciókat, az eredmények összefüggéseit kell elmondani (de a bizonyításokba itt is belekérdezhet a vizsgáztató). Az átmenéshez mindkét tételt legalább elégséges szinten tudni kell.
| [1] | Freud Róbert:
Lineáris Algebra (ELTE kiadó). |
|---|---|
| [2] | Fagyejev-Szominszkij:
Felsőfokú algebrai feladatok (TypoTeX kiadó, 2000). |
| [3] | Kiss Emil:
Bevezetés az algebrába (TypoTeX kiadó, 2007) |
| [4] | Szendrei-Czédli-Szendrei:
Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó). |
| [5] | Fried Ervin:
Algebra I-II (Tankönyvkiadó). |
|---|---|
| [6] | Freud Róbert,
Gyarmati Edit: Számelmélet (Tankönyvkiadó). |
| [7] | Fuchs László:
Algebra (egyetemi jegyzet). |
| [8] | Varga Tamás: Matematikai logika
kezdőknek I-II (Tankönyvkiadó). |
| [9] | Rényi Alfréd:
Ars Mathematica (Magvető Könyvkiadó). |
| [10] | Péter Rózsa:
Játék a végtelennel (Tankönyvkiadó). |
A gyakorlat kis csoportokban zajlik, az elméleti anyag megértésére szolgál önálló feladatmegoldás segítségével. A gyakorlat előtt mindenki nézze át az előadás anyagát, és értse meg a fogalmakat és a tételeket.
Minden héten lesz kötelezően beadandó házi feladat, mely beleszámít a gyakorlati jegybe. Ezen felül egy évfolyamzárthelyit írunk, amelyek hat (esetleg hét) feladatot tartalmaz, mindegyik 1 pontot ér. A zárthelyi jegye a pontszám egészrésze, az átmenéshez a zh-n és a házi feladatokból is legalább elégségest kell szerezni. A gyakorlati jegybe a zh és a házi feladatok 50-50%-os súllyal számítanak bele. A feladatsorokon lesznek nehezebb (``csillagos'') feladatok is, amiket szintén be lehet adni, de ez nem kötelező. A csillagos feladatokkal a ZH és a kötelező házi feladatok alapján kialakult jegyen legfeljebb 1 jegyet lehet javítani. A javító zh-knak (sok kollégámmal ellentétben, de sok más kollégámmal egyetértésben) nem vagyok híve, mert véleményem szerint a gyakorlati jegy az egész féléves teljesítményt kell tükrözze. Továbbá meggyőződésem, hogy a tananyagot leginkább óráról órára készülve, és nem a zh/vizsga előtt pár nappal lehet elsajátítani. Ennek megfelelően pót-zh-ra csak különösen indokolt esetben van lehetőség a félév végén egyszer.
Azoknak, akik (elsőre) elégtelen gyakorlati jegyet szereztek, természetesen lehetőségük lesz egyszeri javítási lehetőségre gyakjegy-UV formájában.