A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.
1. előadás: február 10. Testbővítések, fokszámtétel. Az egyszerű testbővítések szerkezete algebrai elemmel való bővítés esetén. A bővítés foka egyenlő a minimálpolinom fokával. Az egyszerű testbővítés, mint faktorgyűrű, egyszerű testbővítés konstrukciója.
2. előadás: február 17. Tökéletes testek, \(p\)-karakterisztikájú test pontosan akkor tökéletes, ha a \(p\)-Frobenius szürjektív.
3. előadás: február 24. Minden véges szeparábilis bővítés egyszerű. (Biz csak 5-ösért) Test multiplikatív csoportjának véges részcsoportja ciklikus. Galois-bővítések, ezek Galois-csoportja: \(\operatorname{Hom}_K(L,L)\), ekvivalens jellemzések. Felbontási test fogalma, szeparábilis polinom felbontási teste Galois bővítés. A körosztási test foka és Galois-csoportja. A Kronecker-Weber tétel (NB). Egy elem \(n\)-edik gyökével vett bővítésnek a Galois csoportja, ha az alaptest tartalmazza az \(n\)-edik egységgyököket.
Minden testnek létezik algebrai lezártja, és az izomorfia erejéig egyértelmű, de maga az izomorfizmus nem kanonikus (gyakorlaton: bizonyítás nem kell vizsgára).
4. előadás: március 3. A Galois-elmélet főtétele. Közbülső testek és részcsoportok kapcsolata. A Galois-csoport mint a polinom gyökeinek permutációcsoportja. Véges testek elemszáma, létezése, egyértelműsége. Minden véges test tökéletes. Véges test véges bővítése mindig normális, a Galois-csoport ciklikus, a Galois-csoport generátoreleme, a közbülső testek száma és foka.
5. előadás: március 10. A kvadratikus reciprocitási tétel bizonyítása Gauss-ciklusokkal. (Biz. csak 5-ösért)
Wedderburn tételének bizonyítása (minden véges ferdetest kommutatív).
Geometriai szerkesztések. Az alapadatok által generált test. A szerkesztési lépések és a másodfokú bővítések kapcsolata. Komplex szám szerkeszthetősége. A szerkeszthető számok jellemzése: minimálpolinomjuk felbontási testének foka az alaptest felett 2-hatvány.
6. előadás: március 17. Konkrét szerkesztési feladatok megoldhatatlansága: kockakettőzés, szögharmadolás, körnégyszögesítés (NB). Szabályos sokszögek szerkeszthetősége.
Nulla karakterisztikájú test gyökökkel elérhető bővítése, a gyökkifejezés fogalma (erős és gyenge értelemben). Ha egy szám tágabb értelemben vett gyökkifejezés, akkor a minimálpolinomjának a Galois-csoportja feloldható. Az \(x^5-4x+2\) polinom Galois-csoportja \(S_5\) (Gy), és így nem oldható meg gyökjelekkel. Következmény: a legalább ötödfokú egyenletre nincs általános megoldóképlet. Kummer-elmélet (ha az alaptest tartalmazza a \(n\)-edik egységgyököket, akkor minden \(Z_n\)-nel izomorf Galois csoportú bővítés \(n\)-edik gyök hozzávételével kapható). Artin-Schreier bővítések pozitív karakterisztikában (GY). Minden egységgyök gyökkifejezés. A gyökökkel megoldható polinomok jellemzése a Galois-csoport feloldhatóságával.
7. előadás: március 24. Egész elemek integritási tartomány fölött gyűrűt alkotnak. Minden algebrai elem egy egész és egy alapgyűrűbeli elem hányadosa. Minden alaptételes gyűrű egész-zárt. Ha egy testbővítés végesen generált, mint gyűrűbővítés, akkor algebrai. Következmény: algebrailag zárt test feletti \(n\)-változós polinomgyűrű minden maximális ideálja ponthoz kötött.
8. előadás: április 7. Hilbert nullhelytétele. A Zariski-topológia alaptulajdonságai: az affin tér \(T_1\), noether, és kompakt, de nem Hausdorff (gyakorlaton: nem kell a bizonyítás vizsgára). Ha \(I\lhd\mathbb{C}[x_1,\dots,x_n]\) egy ideál, akkor \(\sqrt{I}\) előáll az \(I\)-t tartalmazó maximális (ill. prím-) ideálok metszeteként.
Féligegyszerű modulusok, ekvivalens jellemzések.
9. előadás: április 14. Modulus talpa. Féligegyszerű gyűrűk. Egy \(R\) gyűrű pontosan akkor féligegyszerű, ha minden (bal-) \(R\)-modulus féligegyszerű/projektív/injektív.
A Jacobson radikál, mint a maximális balideálok metszete, ill. az egyszerű bal-modulusok annullátorának metszete, tehát ideál. Nakayama-lemma.
Évfolyamzárthelyi az 1-8. előadások anyagából: április 15. (csütörtök), 10:00-12:00 (gyakorlat idejében, canvas+teams).
10. előadás: április 21. \(J(R)\) Jacobson radikál azon \(x\)-ek halmaza, melyekre \(1-ax\) invertálható minden \(a\in R\)-re. Ekkor \(1-axb\) is invertálható, mivel \(J(R)\) kétoldali ideál. Következmény: \(J(R)\) bal-jobb szimmetrikus, és tartalmaz minden nilpotens balideált.
Egy \(R\) gyűrű pontosan akkor féligegyszerű, ha bal-Artin és \(J(R)=0\). Schur lemma.
Féligegyszerű modulusok homogén felbontása, a Wedderburn-Artin tétel (gyakorlaton, bizonyítás nem kell a vizsgára).
13. előadás: május 12. Centrális egyszerű algebrák tenzorszorzata is az, ha \(L|K\) hasítja \(A\)-t és \(B\)-t is,
akkor \(A\otimes_K B\)-t is. \(A\otimes_K A^\circ\cong M_{n^2}(K)\), ha \(A^\circ\) az oppozit algebra és \(n\) a fok. egy \(A\) \(n\)-edfokú centrális egyszerű algebra tartalmaz
egy \(L\) résztestet, melyre \(|L:K|=n\), akkor \(L\) hasítja \(A\)-t. Egy \(n\)-edfokú ferdetestet hasít egy \(n\)-edfokú szeparábilis bővítés. A Brauer csoport.
Következmény: Frobenius tétele az \(\mathbb{R}\) fölötti végesdimenziós algebrákról.
A vizsgán mindenki egy témakört húz, amiből kérdezek (felkészülési idő nélkül, de az órai jegyzetet szabad használni). Részletek a vizsgatematikában.
| [1] | Freud Róbert:
Lineáris Algebra (ELTE kiadó). |
|---|---|
| [2] | Fagyejev-Szominszkij:
Felsőfokú algebrai feladatok (TypoTeX kiadó, 2000). |
| [3] | Kiss Emil:
Bevezetés az algebrába (TypoTeX kiadó, 2007) |
| [4] | Szendrei-Czédli-Szendrei:
Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó). |
| [5] | Fried Ervin:
Algebra I-II (Tankönyvkiadó). |
|---|---|
| [6] | Freud Róbert,
Gyarmati Edit: Számelmélet (Tankönyvkiadó). |
| [7] | Fuchs László:
Algebra (egyetemi jegyzet). |
| [8] | Varga Tamás: Matematikai logika
kezdőknek I-II (Tankönyvkiadó). |
| [9] | Rényi Alfréd:
Ars Mathematica (Magvető Könyvkiadó). |
| [10] | Péter Rózsa:
Játék a végtelennel (Tankönyvkiadó). |
| [11] | James Milne:
Fields and Galois Theory. |
| [12] | Philippe Gille, Tamás Szamuely: Central simple algebras and Galois cohomology
(2nd Ed., Cambridge Studies in Advanced Mathematics 165). |
A gyakorlat kis csoportokban zajlik, az elméleti anyag megértésére szolgál önálló feladatmegoldás segítségével. A gyakorlat előtt mindenki nézze át az előadás anyagát, és értse meg a fogalmakat és a tételeket.
Minden héten lesz kötelezően beadandó házi feladat, mely beleszámít a gyakorlati jegybe. Ezen felül egy évfolyamzárthelyit írunk, amelyek hat (esetleg hét) feladatot tartalmaz, mindegyik 1 pontot ér. A zárthelyi jegye a pontszám egészrésze, az átmenéshez a zh-n és a házi feladatokból is legalább elégségest kell szerezni. A gyakorlati jegybe a zh és a házi feladatok 50-50%-os súllyal számítanak bele. A feladatsorokon lesznek nehezebb (``csillagos'') feladatok is, amiket szintén be lehet adni, de ez nem kötelező. A csillagos feladatokkal a ZH és a kötelező házi feladatok alapján kialakult jegyen legfeljebb 1 jegyet lehet javítani. A javító zh-knak (sok kollégámmal ellentétben, de sok más kollégámmal egyetértésben) nem vagyok híve, mert véleményem szerint a gyakorlati jegy az egész féléves teljesítményt kell tükrözze. Továbbá meggyőződésem, hogy a tananyagot leginkább óráról órára készülve, és nem a zh/vizsga előtt pár nappal lehet elsajátítani. Ennek megfelelően pót-zh-ra csak különösen indokolt esetben van lehetőség a félév végén egyszer.
Azoknak, akik (elsőre) elégtelen gyakorlati jegyet szereztek, természetesen lehetőségük lesz egyszeri javítási lehetőségre gyakjegy-UV formájában.