Algebrai számelmélet


Szerda 8:30-10



It seems there will be international students so the lectures and example classes will be in English. Here you can find some information on the course (see below a more detailed description in Hungarian).

Description

This course is intended as an introduction to Algebraic Number Theory. The main goal is to prove the theorem of Kronecker and Weber that any Galois extension of the field \(\mathbb{Q}\) of rational numbers is contained in a cyclotomic extension, ie. in an extension generated by a root of unity. Along the way we introduce the basic notions of ANT and hope to prove some results of independent interest. The strategy is to cover the following topics: proof of quadratic reciprocity using Gauss sums; integral elements in field extensions, integral closure; norm, trace, Hilbert 90, normal basis theorem; discriminant of a basis, integral bases, discriminant of a number field; fractional ideals; Dedekind domains, decomposition of ideals as a product of prime ideals; class group; Minkowski theory on lattice points in convex domains and its applications to the upper estimate of the class number; Dirichlet's theorem on the group of units; extensions of Dedekind domains, decomposition of prime ideals over larger fields; Hilbert's ramification theory, decomposition and ramification subgroups in Galois groups of prime ideals; Frobenius lifts; cyclotomic fields, Fermat's last theorem for regular primes; localization at prime ideals, discrete valuation rings, yet another description of Dedekind domains using localization; exact sequence of localization for the class group; ramification and the discriminant; valuations, absolute values (archimedean and non-archimedean) on fields, Ostrowski's theorem on absolute values on \(\mathbb{Q}\), connection to DVRs; completions, the p-adic numbers; integral elements with respect to a valuation; projective and injective limits, exactness properties, projective limit of nonempty compact spaces is nonempty and compact; Hensel's lemma; multiplicative representatives; extensions of valuations to bigger fields, local fields; p-adic log and exp, description of the multiplicative group; Newton polygons; henselian fields, tamely and wildly ramified extensions, higher ramification groups; local and global Kronecker-Weber Theorem; other topics (if time permits): Langlands programme, Iwasawa theory, connections to algebraic geometry.

As you may have noticed (if read this far) that we will use quite a lot of Galois theory. I will review most of the relevant results.

Recommended literature

I teach using my own notes, but there are many nice books on the topic in English.
[1] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie (Springer, 1992) (also in English translation: Algebraic Number Theory).
[2] Serge Lang: Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics 110 (Springer, 1970, 1986, 1994).
[3] Jean-Pierre Serre: Local Fields, Graduate Texts in Mathematics 67, (Springer, 1979, 2nd editition 1995) (also in French original: Corps locaux (Hermann, Paris)).
[4] James Milne: Algebraic Number Theory, online notes.

Problem sheets


There will be (approx. 10) problem sheets for the Example Classes each containing many problems. If you need marks the rules are the following: you can collect at most 10 points from each example sheet by handing in as many solutions as you wish to. You will need at least 70 points at the end for the best mark. Many problems can be found in textbooks/on the internet. I do not mind if you look them up (cannot control this anyway). However, it is impostant that you understand fully what you write down - I might occasionally ask questions to see if you do.

Problem Sheet 1 (9th September)
Problem Sheet 2 (23rd September)
Problem Sheet 3 (30th September)
Problem Sheet 4 (7th October)
Problem Sheet 5 (14th October)
Problem Sheet 6-7 (21st October)
Problem Sheet 8 (11th November)
Problem Sheet 9 (18th November)
Problem Sheet 10-11 (25th November)

Általános tudnivalók

A kurzushoz készül jegyzet, ami folyamatosan frissül, és az aktuális verzió innen letölthető. Ha valaki hibát talál, kérem jelezze nekem! Van némi szimmetrikus differencia az előadáson leadott anyaggal, ami a következőkből fakad: 1) nem volt időm még mindent begépelni. 2) Van, amelyik anyagrész még csak később jön, de már egyszer begépeltem. A másfél évvel ezelőtti vizsgatematika is letölthető innen. Idén is valami hasonlóra kell számítani.

Ez a kurzus bevezetést szeretne nyújtani a matematika egyik legrégebbi területébe, az algebrai számelméletbe. Annak ellenére, hogy a Fermat-sejtést - mely többszáz éven keresztül az algebrai számelméleti kutatás fő motivációját szolgálta - 20 éve bebizonyította Andrew Wiles, a terület azóta is rohamosan fejlődik. Célunk természetesen nem lesz olyan ambíciózus, hogy a fenti sejtést igazoljuk, hanem inkább egy klasszikus eredményre, az ún. Kronecker-Weber-tételre fogunk koncentrálni. Ez azt mondja ki, hogy ha a \(\mathbb{Q}\subseteq F\subset\mathbb{C}\) véges testbővítés normális, és a \(\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})\) Galois csoportja kommutatív, akkor van egy olyan \(n\) egész szám, melyre \(F\subseteq \mathbb{Q}(\zeta_n)\), ahol \(\zeta_n\) egy primitív \(n\)-edik egységgyök. A kurzus egyik fő célja, ennek a tételnek a bizonyítása, melynek során megismerjük az algebrai számelmélet alapvető fogalmait és módszereit. A tételt az ún. ,,lokális'' (a \(p\)-adikus számok \(\mathbb{Q}_p\) testére vonatkozó) Kronecker-Weber-tételből bizonyítjuk, rámutatva a lokál-globál elv fontosságára a számelméletben.

Szükséges előismeretek:

Alapvető csoport-, gyűrű- és Galois-elméleti ismeretek. A szemlélet miatt hasznos, de egyáltalán nem előfeltétel, az algebrai geometria bevezető szintű ismerete.

Tematika

Az első néhány előadáson bevezetjük a számtestek (azaz a racionális számok véges bővítéseinek) algebrai egészeihez kapcsolódó alapvető fogalmakat. Ezután Dedekind gyűrűk ideálelméletével, az osztályszám Minkowski-féle becslésével, elágazás-elmélettel, illetve prímideáloknál vett lokalizálással és teljessé tétellel folytatjuk. A félév második felében leginkább lokális testekkel fogunk foglalkozni, azaz olyan testekkel, melyek teljesek egy diszkrét értékelésre nézve és maradéktestük véges. Ezek struktúráját részletesen leírjuk ún. ,,Witt gyűrű'' segítségével. Megvizsgáljuk lokális testek bővítéseit is, és bevezetjük a Galois-csoportok elágazási részcsoportjait, ill. rámutatunk ezeknek a multiplikatív csoport részcsoportjaihoz fűződő kapcsolatára. A Galois-elméleti előismereteknek pl. az alábbi jegyzetből lehet utánanézni. Ez egy viszonylag tömör jegyzet, aminek kicsit más a felépítése, mint Kiss Emil Bevezetés az Algebrába c. könyvében a Galois-elmélet c. fejezetnek, de természetesen abból is nagyon jól meg lehet tanulni az alapokat.

1. előadás: szeptember 9. Bevezetés. A kvadratikus reciprocitási tétel bizonyítása Gauss-ciklusokkal.

Egész elemek gyűrűbővítésben, ezek részgyűrűt alkotnak. Egész lezárt. Nyom, norma, Hilbert 90-es tétele, a normál-bázis tétel. Bázis diszkriminánsa.

A szeptember 16-ai előadás és gyakorlat elmarad (külföldön leszek).

2. előadás: szeptember 23. Egész bázis, számtestek diszkriminánsa. Törtideálok, mint végesen generált \(\mathcal{O}_K\)-részmodulusok, ezek diszkriminánsa, kapcsolat az indexszel. \(\mathcal{O}_K\) Dedekind gyűrű, azaz noether, egészre zárt, és 1-dimenziós (minden nem nulla prímideál maximális).

Dedekind gyűrűben egyértelmű prímfelbontás a(z tört)ideálokra. Osztálycsoport.

3. előadás: szeptember 30. \(\mathbb{Z}\)-rácsok \(\mathbb{R}^n\)-ben, fundamentális tartományok. Térfogat. Minkowski-féle rácsponttétel.

Konjugálás-invariáns bilineáris forma \(K_{\mathbb{C}}=K\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{C}\)-n, \(K_{\mathbb{R}}\subset K_{\mathbb{C}}\) a konjugálás-invariáns altér mint Minkowski-tér. Az \(\mathcal{O}_K\) által meghatározott rács, ennek fundamentális tartományának a térfogata. Abszolút norma, az osztályszám végessége. Alsóbecslés a diszkriminánsra. Dirichlet-féle egységtétel (gyakorlaton).

4. előadás: október 7. Dedekind gyűrűk bővítései. Prímideálok felbontása a nagyobb gyűrűben, elágazási index, inerciafok. Fundamentális egyenlet. Teljesen felbomló, elágazásmentes, illetve, teljesen elágazó prímek. Egyszerű gyűrűbővítés esetén kapcsolat a minimálpolinom mod p felbontásával. Galois-bővítés esetén Galois-hatás a p feletti prímeken, tranzitivitás.

5. előadás: október 14. Hilbert-féle elágazáselmélet, felbontási részcsoport a Galois-csoportban, felbontási test. Homomorfizmus a mod p Galois-csoportba, inerciarészcsoport, Frobenius felemelt. Körosztási testek, Fermat-sejtés reguláris prímekre (gyakorlaton).

6. előadás: október 21. Kommutatív gyűrű prímidieáljánál vett lokalizálás. Diszkrét értékelésgyűrűk (DVR), Weierstrass előkészítési tételének analógja. Értékelések. Dedekind gyűrű lokalizáltja is Dedekind, sőt, egy noether-féle integritási tartomány pontosan akkor Dedekind, ha lokálisan DVR. Osztálycsoport és a lokalizálás kapcsolata (egzakt sorozat). Egy prím akkor és csak akkor ágazik el, ha osztója a diszkriminánsnak.

7. előadás: november 4. Abszolútértékek, approximáció. Arkhimédeszi és nem-arkhimédeszi értékelések, ultrametrika. Ostrowski tétele \(\mathbb{Q}\) értékeléseiről. Kapcsolat a DVR-ekkel. Telítés, a p-adikus számok teste. Egész elemek.

8. előadás: november 11. Projektív és injektív limesz, egzaktsági tulajdonságok. Nemüres kompakt halmazok inverz limesze nemüres és kompakt. Hensel lemma.

9. előadás: november 18. Multiplikatív (Teichmüller-) reprezentánsok. Értékelések kiterjesztése, egyértelműség. Lokális testek. p-adikus log és exp, a multiplikatív csoport leírása. Newton-poligonok.

10. előadás: november 25. Hensel-féle testek, szelíden elágazó bővítések, magasabb elágazási részcsoportok.

11. előadás: december 2. A lokális Kronecker-Weber tétel bizonyítása.

12. előadás: december 9. A globális Kronecker-Weber tétel bizonyítása.

13. előadás: valamikor pótlunk További témák, kitekintés, mese a Langlands programról.

A vizsga

A vizsgán mindenki egy tételt húz, amit bizonyítani kell.

Ajánlott irodalom

[1] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie (Springer, 1992) (létezik angol fordításban is, Algebraic Number Theory címen).
[2] Serge Lang: Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics 110 (Springer, 1970, 1986, 1994).
[3] Jean-Pierre Serre: Local Fields, Graduate Texts in Mathematics 67, (Springer, 1979, 2nd editition 1995) (létezik francia eredetiben is Corps locaux (Hermann, Paris) címen).

A gyakorlat:

(Szerda 12-13:30)

A gyakorlaton az előadáshoz kapcsolódó feladatokat fogunk megoldani. A feladatokat mindig az előadás hetén fogom kiosztani, de megbeszélni csak a következő héten fogjuk őket, ezek mind "házi feladatok", melyek beadásával lehet megszerezni a gyakorlati jegyet. Vissza