A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.
1. előadás: szeptember 10. Bevezetés. A harmadfokú egyenlet kérdése, a komplex számok szükségessége, bevezetésük a+bi alakú formális kifejezésként. Valós és képzetes rész, egyértelműség. Összeadás, kivonás, szorzás. Asszociativitás, kommutativitás, disztributivitás, testaxiómák. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani. Konjugált, abszolút érték, kapcsolatuk, tulajdonságaik. Nullosztómentesség.
A Gauss-féle számsík. A komplex számok összeadása a vektorösszeadásnak felel meg. Komplex szám hossza, szöge és trigonometrikus alakja. Szorzásnál a szögek összeadódnak, a hosszak összeszorzódnak. A háromszög-egyenlőtlenség. Elemi geometriai alkalmazások, mackósajtos feladat.
2. előadás: szeptember 17. Komplex számok hatványozása. Gyökvonás komplex számból. A gyökök száma és elhelyezkedése. Az egységgyökök fogalma, száma, képlete. Nem nulla komplex szám rendje, mint a különböző hatványainak a száma, primitív egységgyökök.
Test feletti polinomok. Gyűrű definíciója. Polinomok egyenlősége, együtthatói, konstans tagja, foka, főegyütthatója, normált polinom, a nullapolinom. Polinomok összege, különbsége, szorzata, a szorzat együtthatói. Az összeg és a szorzat foka, nullosztómentesség. A komplex számok bevezetése rendezett párokkal, a polinomok sorozatos bevezetése.
3. előadás: szeptember 24. Behelyettesítés polinomba. Gyök, a gyöktényező kiemelhetősége. A Horner elrendezés, és szerepe a gyöktényező kiemelésénél. A különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezők egyszerre is kiemelhetők. A gyökök száma legfeljebb a polinom foka. A polinomok azonossági tétele, ez érvényes végtelen integritási tartomány felett, de véges felett nem. A polinom és a polinomfüggvény fogalma közti különbség. A polinom formális deriváltja, k-szoros gyök fogalma, kapcsolatuk.
Az algebra alaptétele (NB). A gyöktényezős alak. Az xn-1 polinom gyöktényezős alakja (gyakorlaton). Polinomok maradékos osztása, euklideszi algoritmus, a legnagyobb közös osztó felírása lineáris kombinációként (gyakorlaton).
4. előadás: október 1. A harmad- és negyedfokú egyenlet megoldási módszere, Cardano képlet. Casus irreduciblis, diszkusszió. A minimum 5-ödfokú egyenletre nincs gyökképlet (NB).
Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. Ha egyértelmű a megoldás, akkor az egyenletek száma legalább annyi, mint az ismeretlenek száma. Következmény: homogén egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása, ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen.
Az n magas (komplex) oszlopvektorok "tere", összeadás, skalárral szorzás. A mátrix általános fogalma, műveletek: összeadás, szorzás, skalárral szorzás, transzponált, műveleti tulajdonságok. Mátrix és vektor szorzata. Motiváció: lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja. Mátrixgyűrű test (illetve gyűrű) felett.
5. előadás: október 8. Hatványozás gyűrűben, azonosságok, gyűrűelem egész számszorosa. Nullosztó, minden test nullosztómentes. Művelettartó leképezés, lineáris leképezés. Gyűrűhomomorfizmus és izomorfizmus. A Z/nZ gyűrű definíciója, ez pontosan akkor nullosztómentes ha test, és ez akkor igaz, ha n prímszám. Véges nullosztómentes gyűrű ferdetest. Ha egy kommutatív gyűrűben minden elem p-szerese nulla, akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni (p prím). Következmény: a kis Fermat-tétel.
Csoport definíciója, példák: gyűrű additív és multiplikatív csoportja. Homomorfizmus, izomorfizmus, részcsoport. Elem rendje, részcsoport rendje, Lagrange-tétel. Permutáció, inverziók, előjel.
6. előadás: október 15. Az előjelek szorzástétele. A páros permutációk száma, a szimmetrikus és az alternáló csoport. Ciklusfelbontás (gyakorlaton). Előjeles mérték, a paralelepipedon térfogata. A determináns definíciójának egyértelműsége. A determináns alaptulajdonságai, kiszámítása Gauss-eliminációval.
A transzponált mátrix determinánsa. Következmény: az oszlopokra teljesülő tulajdonságok a sorokra is érvényesek. A determinánsok szorzástétele. Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel.
október 22. 1. évfolyamzárthelyi az 1-5. előadások anyagából (az előadás helyén és idejében)
7. előadás: november 5. A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Következmény: négyzetes mátrixokra MN=E akkor és csak akkor, ha NM=E. A Cramer-szabály és megfordítása. Vandermonde-determináns. Az inverz mátrix kiszámítása Gauss-eliminációval. Mátrix rangja (vezéregyesek száma Gauss-elimináció után), ez nem függ a Gauss-elimináció módjától. Összefüggés négyzetes mátrix rangja és determinánsa között.
8. előadás: november 12. Cauchy-Binet formulák, számozott fák száma.
A Lagrange-interpoláció. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések (részben gyakorlaton). Egységelemes, kommutatív gyűrű feletti polinomgyűrű, a többhatározatlanú polinom rekurzív definíciója. Fok, homogén polinom, lexikografikus rendezés.
9. előadás: november 19. A szimmetrikus polinomok alaptétele, egyértelműség. Hatványösszegek, Newton-Girard-formulák.
Számelméleti alapfogalmak általános gyűrűben: oszthatóság, asszociált, egység, irreducibilis és prím elem, kitüntetett közös osztó és többszörös. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak. A kitüntetett közös osztó kiemelési tulajdonsága, az alaptétel egyértelműségi állítása.
Az irreducibilitás jellemzése test fölötti polinomokra. Összefüggés gyök létezése és az irreducibilitás között test fölötti első, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében. A racionális gyökteszt. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám és a konjugáltja ugyanannyiszoros gyöke. Következmény: páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. Az irreducibilis polinomok C fölött pontosan az elsőfokúak. Valós fölött egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú, vagy ha másodfokú, de nincs valós gyöke. Az egész együtthatós polinomok számelmélete.
10. előadás: november 26. Primitív polinom, Gauss-lemma, a Z[x] irreducibiliseinek leírása. Racionális együtthatós polinomok Newton-poligonja, ennek segítségével irreducibilitási kritérium. Speciális eset: A Schönemann-Eisenstein kritérium. Következmény: racionális fölött akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik. A körosztási polinom definíciója és rekurzív kiszámítása. Ez a polinom egész együtthatós és irreducibilis. Alkalmazás: Dirichlet tételének nk+1 esete.
11. előadás: december 3. A Gauss-lemma általánosítása, a hányadostest konstrukciója. Ha R alaptételes, akkor R[x] is az. Következmény: Z[x1,...,xn] és K[x1,...,xn] alaptételes, ahol K test.
A rezultáns. A diszkrimináns. Valós együtthatók esetén összefüggés a diszkrimináns előjele és a valós gyökök száma között.
december 10. Második évfolyamzárthelyi a 6-11. előadások anyagából (az előadás helyén és idejében).
A vizsgán mindenki egy tételpárt húz. Ezek egyike egy bizonyítás ismertetése, a másik néhány tételt felölelő téma, ahol a definíciókat, az eredmények összefüggéseit kell elmondani (de a bizonyításokba itt is belekérdezhet a vizsgáztató). Az átmenéshez mindkét tételt legalább elégséges szinten tudni kell.
| [1] | Freud Róbert:
Lineáris Algebra (ELTE kiadó). |
|---|---|
| [2] | Fagyejev-Szominszkij:
Felsőfokú algebrai feladatok (TypoTeX kiadó, 2000). |
| [3] | Kiss Emil:
Bevezetés az algebrába (TypoTeX kiadó, 2007) |
| [4] | Szendrei-Czédli-Szendrei:
Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó). |
| [5] | Fried Ervin:
Algebra I-II (Tankönyvkiadó). |
|---|---|
| [6] | Freud Róbert,
Gyarmati Edit: Számelmélet (Tankönyvkiadó). |
| [7] | Fuchs László:
Algebra (egyetemi jegyzet). |
| [8] | Varga Tamás: Matematikai logika
kezdőknek I-II (Tankönyvkiadó). |
| [9] | Rényi Alfréd:
Ars Mathematica (Magvető Könyvkiadó). |
| [10] | Péter Rózsa:
Játék a végtelennel (Tankönyvkiadó). |
A gyakorlat kis csoportokban zajlik, az elméleti anyag megértésére szolgál önálló feladatmegoldás segítségével. A 3 csoport közül az egyiket (1. csoport, Kedd 10-12-ig, gyv.: Zábrádi Gergely) elsősorban azoknak ajánljuk, akiket érdekel az előadáson elhangzott tételek mélyebb vagy absztraktabb változata, háttere, akik szívesen foglalkoznak nehezebb feladatokkal is, és komoly feladatmegoldó-versenyzői rutinnal rendelkeznek (KöMaL, tanulmányi versenyek, diákolimpia). Ebben a csoportban értelemszerűen kevesebbet foglalkozunk a könnyebb feladatok megoldásával. A gyakorlatra kötelező járni, egy félévben legfeljebb három hiányzás megengedett. Ha háromnál több hiányzás van, az nem elégtelen gyakorlati jegyet jelent, hanem aláírásmegtagadást, ilyenkor tehát a gyakorlatot újra kell járni, és persze vizsgázni sem lehet. A gyakorlat előtt mindenki nézze át az előadás anyagát, és értse meg a fogalmakat és a tételeket.
Két évfolyamzárthelyit írunk, amelyek hat (esetleg hét) feladatot tartalmaznak, mindegyik 1 pontot ér. A zárthelyin csak egy maximum egy oldalas kézzel írott puska használható. A zárthelyi jegye a pontszám egészrésze, az átmenéshez mindkét zh-n legalább elégségest kell szerezni. Amennyiben mindkét zh-n legalább elégséges jegy született, a gyakorlati jegy minimum a két zh átlagának (alsó) egészrésze. Ennél jobbat órai munka, illetve esetlegesen beadott nehezebb (csillagos feladatok) alapján lehet kapni. Ezeket a feladatokat a félév során kell beadni, és NEM a két zh megírása után, amikor esetlegesen rájöttünk, hogy a gyakorlati jegy nem lesz olyan, mint amilyennek elképzeltük. A javító zh-knak (sok kollégámmal ellentétben, de sok más kollégámmal egyetértésben) nem vagyok híve, mert véleményem szerint a gyakorlati jegy az egész féléves teljesítményt kell tükrözze. Továbbá meggyőződésem, hogy a tananyagot leginkább óráról órára készülve, és nem a zh/vizsga előtt pár nappal lehet elsajátítani. Ennek megfelelően pót-zh-ra csak abban az esetben van lehetőség, ha valaki valamelyik zh-t nem írta meg, viszont egyébként (a zh-ról való hiányzással együtt) nem hiányzott 3-nál többet. A javító zh-t csak rendkívül indokolt esetben tartom elképzelhetőnek, ha valakinek az egyik zh-ja sokkal rosszabbul sikerült, mint a másik, és az órai jó teljesítménye ezt indokolja.
Azoknak, akik (elsőre) elégtelen gyakorlati jegyet szereztek, természetesen lehetőségük lesz egyszeri javítási lehetőségre gyakjegy-UV formájában.