A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.
1. előadás: február 15. Testbővítések (részben ismétlés). Az egyszerű testbővítések szerkezete algebrai elemmel való bővítés esetén. A bővítés foka egyenlő a minimálpolinom fokával. Az egyszerű testbővítés, mint faktorgyűrű, egyszerű testbővítés konstrukciója.
\(K\)-homomorfizmusok, \(\operatorname{Hom}_K(K(\alpha),L)\) mint halmaz azonosítása \(\alpha\) minimálpolinomjának \(L\)-beli gyökeinek halmazával. Tökéletes testek, \(p\)-karakterisztikájú test pontosan akkor tökéletes, ha a \(p\)-Frobenius szürjektív. Szeparábilis elemek, jellemzésük \(\operatorname{Hom}_K(K(\alpha),\overline{K})\) elemszámával. \(K\)-homomorfizmusok kiterjesztése, \(|\operatorname{Hom}_K(L,M)|\leq |L:K|\). Ha \(\alpha\) szeparábilis, akkor \(K(\alpha)\) minden eleme az. Szeparábilis elemek résztestet alkotnak.
3. előadás: március 1. Közbülső testek és részcsoportok kapcsolata. A Galois-csoport mint a polinom gyökeinek permutációcsoportja.
Véges testek elemszáma, létezése, egyértelműsége. Minden véges test tökéletes. Véges test véges bővítése mindig normális, a Galois-csoport ciklikus, a Galois-csoport generátoreleme, a közbülső testek száma és foka. A kvadratikus reciprocitási tétel bizonyítása Gauss-ciklusokkal. (Biz. csak 5-ösért) A Kronecker-Weber tétel (NB).
4. előadás: március 8. Wedderburn tételének bizonyítása (minden véges ferdetest kommutatív).
Geometriai szerkesztések. Az alapadatok által generált test. A szerkesztési lépések és a másodfokú bővítések kapcsolata. Komplex szám szerkeszthetősége. A szerkeszthető számok jellemzése: minimálpolinomjuk felbontási testének foka az alaptest felett 2-hatvány. Konkrét szerkesztési feladatok megoldhatatlansága: kockakettőzés, szögharmadolás, körnégyszögesítés (NB). A körosztási test foka és Galois-csoportja. Szabályos sokszögek szerkeszthetőségének jellemzése.
Körosztási bővítések Galois csoportja. Egy elem \(n\)-edik gyökével vett bővítésnek a Galois csoportja, ha az alaptest tartalmazza az \(n\)-edik egységgyököket. Nulla karakterisztikájú test gyökökkel elérhető bővítése, a gyökkifejezés fogalma (erős és gyenge értelemben).
5. előadás: március 22. Ha egy szám tágabb értelemben vett gyökkifejezés, akkor a minimálpolinomjának a Galois-csoportja feloldható. Az \(x^5-4x+2\) polinom Galois-csoportja \(S_5\) (Gy), és így nem oldható meg gyökjelekkel. Következmény: a legalább ötödfokú egyenletre nincs általános megoldóképlet.
Dedekind lemma. (Biz. csak 5-ösért) Hilbert 90-es tétele, Kummer-elmélet (ha az alaptest tartalmazza a \(n\)-edik egységgyököket, akkor minden \(Z_n\)-nel izomorf Galois csoportú bővítés \(n\)-edik gyök hozzávételével kapható). Artin-Schreier bővítések pozitív karakterisztikában (GY). Minden egységgyök gyökkifejezés. A gyökökkel megoldható polinomok jellemzése a Galois-csoport feloldhatóságával.
Minden testnek létezik algebrai lezártja. (Biz. csak 5-ösért)
6. előadás: március 29. Egész elemek integritási tartomány fölött. Az egészek jellemzése véges modulusbővítésekkel, az egészek gyűrűt alkotnak. Minden algebrai elem egy egész és egy alapgyűrűbeli elem hányadosa. Minden alaptételes gyűrű egész-zárt.
7. előadás: április 5. Kategóriák és funktorok. Funktorok közti természetes transzformációk. Példák.
Tenzorszorzat mint a bilineáris függvények klasszifikálója, megadása generátorokkal és relációkkal. Az alapgyűrűvel vett tenzorszorzat maga a modulus (gyakorlaton). Direkt összeg és tenzorszorzat (gyakorlaton). A tenzorszorzat szerkezete vektorterek esetében. Homomorfizmusok tenzorszorzata. A Hom és a tenzorszorzat egymás adjungált funktorai. A tenzorszorzat jobbegzakt. A szabad objektumok (szabad csoport, szabad modulus, szabad kommatatív gyűrű (polinomgyűrű)), mint a \(\operatorname{Set}\)-be menő felejtő funktor adjungáltjának képei.
8. előadás: április 19. Féligegyszerű modulusok: minden részmodulus és faktormodulus is féligegyszerű, a felbontás egyértelműsége. Féligegyszerű gyűrűk ekvivalens jellemzései: minden modulus féligegyszerű; minden modulus projektív; minden modulus injektív; a \(\operatorname{Hom}\) funktor egzakt; minden részmodulus direkt összeadandó.
9. előadás: április 26. A Jacobson radikál, mint a maximális balideálok metszete, ill. az egyszerű bal-modulusok annullátorának metszete, tehát ideál. Nakayama-lemma. \(J(R)\) azon \(x\)-ek halmaza, melyekre \(1-ax\) invertálható minden \(a\in R\)-re. Ekkor \(1-axb\) is invertálható, mivel \(J(R)\) ideál. Következmény: \(J(R)\) bal-jobb szimmetrikus, és tartalmaz minden nilbalideált.
\(R\) pontosan akkor féligegyszerű, ha bal-Artin és \(J(R)=0\). Féligegyszerű gyűrűk felbontása homogén részmodulusok direkt összegére. A homogén részmodulusok ideálok, tehát ez egy gyűrű direktösszeg. Minden féligegyszerű gyűrű ferdetest feletti mátrixgyűrűk (véges) direkt összege (Wedderburn-Artin).
10. előadás: május 4. Maschke tétele a csoportalgebra féligegyszerűségéről. Frobenius tétele az \(\mathbb{R}\) fölötti végesdimenziós nullosztómentes algebrákról. Kvaternióalgebrák, általánosítások.
11. előadás: május 11. A csoportreprezentáció fogalma, foka és karaktere. Kapcsolat a csoportalgebra feletti modulusok és a reprezentációk között. Ekvivalens reprezentációk. Egyszerű modulusok és irreducibilis reprezentációk. A csoportalgebra centruma, osztályfüggvények. Az irreducibilis reprezentációk száma a csoport konjugált elemosztályainak a száma, a fokok négyzetösszege a csoport rendje. Abel-csoport reprezentációi.
12. előadás: május 18. A karaktertábla, elemei algebrai egészek. A reguláris reprezentáció, karaktere, felbontása irreducibilisek összegére. Az ortogonális idempotensek együtthatói a csoportalgebrában. I. és II. ortogonalitási reláció. A karakterek ortonormált bázist alkotnak az osztályfüggvények között. Következmény: ha a karakterek egyenlők, akkor a reprezentációk ekvivalensek.
Karakter magja és centruma. Irreducibilis karakter foka osztója a csoport rendjének. Burnside tétele: véges nemkommutatív egyszerű csoportban nem lehet prímhatványrendű konjugált elemosztály. Következmény: ha egy csoport rendje legfeljebb két prímmel osztható, akkor a csoport feloldható.
A vizsgán mindenki egy tételpárt húz. Ezek egyike egy bizonyítás ismertetése, a másik néhány tételt felölelő téma, ahol a definíciókat, az eredmények összefüggéseit kell elmondani (de a bizonyításokba itt is belekérdezhet a vizsgáztató). Az átmenéshez mindkét tételt legalább elégséges szinten tudni kell.
| [1] | Freud Róbert:
Lineáris Algebra (ELTE kiadó). |
|---|---|
| [2] | Fagyejev-Szominszkij:
Felsőfokú algebrai feladatok (TypoTeX kiadó, 2000). |
| [3] | Kiss Emil:
Bevezetés az algebrába (TypoTeX kiadó, 2007) |
| [4] | Szendrei-Czédli-Szendrei:
Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó). |
| [5] | Fried Ervin:
Algebra I-II (Tankönyvkiadó). |
|---|---|
| [6] | Freud Róbert,
Gyarmati Edit: Számelmélet (Tankönyvkiadó). |
| [7] | Fuchs László:
Algebra (egyetemi jegyzet). |
| [8] | Varga Tamás: Matematikai logika
kezdőknek I-II (Tankönyvkiadó). |
| [9] | Rényi Alfréd:
Ars Mathematica (Magvető Könyvkiadó). |
| [10] | Péter Rózsa:
Játék a végtelennel (Tankönyvkiadó). |
| [11] | Teruyoshi Yoshida:
Galois Theory. |
| [12] | Kiss Emil:
Normál komplementumok, csoportreprezentációk. |