A számelmélet a matematika egyik legősibb, és ennek megfelelően legszerteágazóbb részterülete. Számos híres megoldatlan, ill. a közelmúltban megoldott probléma kapcsolódik hozzá. Közülük sok elemien is megfogalmazható (mint pl. az ikerprímsejtés, a Goldbach-sejtés, vagy a Fermat-sejtés, azaz Wiles tétele), mások pedig kevésbé (mint pl. a Birch és Swinnerton-Dyer sejtés, ill. a Riemann-sejtés). Ezek megoldására tett kísérletek alapvető befolyással voltak a matematika fejlődésére. A modern számelméletben a legkülönfélébb módszereket használnak: (komplex) analízis, algebra, (algebrai) geometria, valószínűségszámítás, kombinatorika. Ennek a bevezető előadásnak nyilván nem célja a fenti problémák megoldása, sőt, az utóbbiak esetében még a kimondása sem. Ugyanakkor ízelítőt szeretnénk adni a számelmélet főbb területeiből és módszereiből is.
1. előadás: szeptember 7. Bevezetés. Miről szól a számelmélet? Természetes számok, egész számok, oszthatóság. Egységek, prímszámok, a számelmélet alaptétele (egyértelműség bizonyítása később). Végtelen sok prím van. Maradékos osztás, euklideszi algoritmus.
2. előadás: szeptember 14. A kitüntetett közös osztó felírása lineáris kombinációként. Prímek és felbonthatatlanok, az egész számok körében ezek megegyeznek. Az egyértelműség bizonyítása a számelmélet alaptételében. \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\)-ben a \(2\) felbonthatatlan, de nem prím. A számelmélet alaptétele sem teljesül ebben a számkörben, hiszen \(2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\) két lényegesen különböző felbontása a \(6\)-nak. Kanonikus alak, osztók száma, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös töbszörös leolvasása.
3. előadás: szeptember 21. Legendre-formula a faktoriális prímfelbontására. Kongruenciák, az alapműveletek értékének maradéka csak a tényezők maradékától függ. Kongruenciák egyszerűsítése. Teljes és redukált maradékrendszerek, az Euler-féle \(\varphi\)-függvény és meghatározása a kanonikus alakból. Az Euler-Fermat tétel. Online előadás videója elérhető itt.
4. előadás: szeptember 28. Lineáris kongruenciák megoldhatósága. Wilson-tétel. Lineáris diofantikus egyenletek megoldása euklideszi algoritmussal. Pitagoraszi számhármasok.
5. előadás: október 5. Néhány elemi módszer diofantikus egyenletek megoldására. Mese a Fermat-sejtésről, megoldás \(n=4\)-re.
6. előadás: október 12. Szimultán kongruenciarendszerek (kínai maradéktétel). Kongruenciák visszavezetése prímhatványalapú kongruenciákra. Hensel-lemma. Számelméleti függvények: \(\omega(n), \Omega(n), d(n), \sigma(n), \varphi(n)\).
7. előadás: október 19. Additív és multiplikatív számelméleti függvények, kapcsolatuk. Összegzési függvény, multiplikatív függvény összegzési függvénye. A Möbius-függvény, összegzési függvénye. Tökéletes számok.
8. előadás: november 2. Számelméleti függvények konvolúciója. A konvolúció Dirichlet-sora a két Dirichlet-sor szorzata (ha mindkettő abszolút konvergens). \(\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}\), továbbá \(\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^2}=\frac{6}{\pi^2}\) annak a valószínűsége, hogy két pozitív egész relatív prím.
A rend definíciója és tulajdonságai.
9. előadás: november 9. Primitív gyök, index, diszkrét logaritmus. Hatványmaradékok, kvadratikus maradékok. Legendre-szimbólum, Euler-lemma.
10. előadás: november 16. A kvadratikus reciprocitási tétel (NB), Jacobi-szimbólum, mint eszköz a Legendre-szimbólum kiszámítására. Végtelen sok \(4k+1\) alakú prím van. A két- és négy négyzetszám tétel.
11. előadás: november 23. A \(\pi(x)\) alsó és felső becslése. Csebisev tétele. A prímek reciprokösszege.
12. előadás: november 30. A kombinatorikus nullhelytétel, a Chevalley-Warning tétel, Erdős-Ginzburg-Ziv tétel.
13. előadás: december 7. Prímek \(x^2\pm 2y^2\), ill. \(\pm (x^2-3y^2)\) alakban.