Számelmélet 1 intenzív


Az előadás (Szerda 8:15-9:55, D-2-502, tíz perc szünettel)


A vizsgatematika itt érhető el.

A számelmélet a matematika egyik legősibb, és ennek megfelelően legszerteágazóbb részterülete. Számos híres megoldatlan, ill. a közelmúltban megoldott probléma kapcsolódik hozzá. Közülük sok elemien is megfogalmazható (mint pl. az ikerprímsejtés, a Goldbach-sejtés, vagy a Fermat-sejtés, azaz Wiles tétele), mások pedig kevésbé (mint pl. a Birch és Swinnerton-Dyer sejtés, ill. a Riemann-sejtés). Ezek megoldására tett kísérletek alapvető befolyással voltak a matematika fejlődésére. A modern számelméletben a legkülönfélébb módszereket használnak: (komplex) analízis, algebra, (algebrai) geometria, valószínűségszámítás, kombinatorika. Ennek a bevezető előadásnak nyilván nem célja a fenti problémák megoldása, sőt, az utóbbiak esetében még a kimondása sem. Ugyanakkor ízelítőt szeretnénk adni a számelmélet főbb területeiből és módszereiből is.

Az egyes előadások tartalma

Az alábbi tematika egyben vizsgatematika is. Az NB jelentése: a bizonyítás nem szerepelt, nem kell tudni a vizsgán.

1. előadás: szeptember 11. Bevezetés. Miről szól a számelmélet? Természetes számok, egész számok, oszthatóság. Egységek, prímszámok, a számelmélet alaptétele (egyértelműség bizonyítása később). Végtelen sok prím van. Maradékos osztás, euklideszi algoritmus.

2. előadás: szeptember 18. A kitüntetett közös osztó felírása lineáris kombinációként. Prímek és felbonthatatlanok, az egész számok körében ezek megegyeznek. Az egyértelműség bizonyítása a számelmélet alaptételében. Kanonikus alak, osztók száma, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös töbszörös leolvasása. Legendre-formula a faktoriális prímfelbontására.

3. előadás: szeptember 24. Kongruenciák, az alapműveletek értékének maradéka csak a tényezők maradékától függ. Kongruenciák egyszerűsítése. Teljes és redukált maradékrendszerek, az Euler-féle \(\varphi\)-függvény és meghatározása a kanonikus alakból. Az Euler-Fermat tétel.

4. előadás: október 2. Lineáris kongruenciák megoldhatósága. Wilson-tétel. Lineáris diofantikus egyenletek megoldása euklideszi algoritmussal.

5. előadás: október 9. Pitagoraszi számhármasok. Néhány elemi módszer diofantikus egyenletek megoldására.

6. előadás: október 16. Szimultán kongruenciarendszerek (kínai maradéktétel). Kongruenciák visszavezetése prímhatványalapú kongruenciákra. Hensel-lemma. Számelméleti függvények: \(\omega(n), \Omega(n), d(n), \sigma(n), \varphi(n)\).

7. előadás: november 6. Additív és multiplikatív számelméleti függvények, kapcsolatuk. Összegzési függvény, multiplikatív függvény összegzési függvénye. A Möbius-függvény, összegzési függvénye. Tökéletes számok.

8. előadás: november 13. A rend definíciója és tulajdonságai. Primitív gyök, index, diszkrét logaritmus. Hatványmaradékok, kvadratikus maradékok. Legendre-szimbólum és kiszámítása, Euler-lemma. A kvadratikus reciprocitási tétel (NB).

9. előadás: november 20. A két- és ngy négyzetszám tétel.

10. előadás: november 27. A \(\pi(x)\) alsó és felső becslése. Csebisev tétele.

11. előadás: december 4. A prímek reciprokösszege.

A Chevalley-Warning tétel.

12. előadás: december 11. Prímek \(x^2\pm 2y^2\), ill. \(\pm (x^2-3y^2)\) alakban.