Algebrai számelmélet - Algebraic Number theory



Általános tudnivalók




A kurzushoz készül jegyzet, ami folyamatosan frissül, és az aktuális verzió innen letölthető. Ha valaki hibát talál, kérem jelezze nekem! Van némi szimmetrikus differencia az előadáson leadott anyaggal, ami a következőkből fakad: 1) nem volt időm még mindent begépelni. 2) Van, amelyik anyagrész még csak később jön, de már egyszer begépeltem. A vizsgatematika is letölthető innen. Exam questions in English can be found here.

Ez a kurzus bevezetést szeretne nyújtani a matematika egyik legrégebbi területébe, az algebrai számelméletbe. Annak ellenére, hogy a Fermat-sejtést - mely többszáz éven keresztül az algebrai számelméleti kutatás fő motivációját szolgálta - 20 éve bebizonyította Andrew Wiles, a terület azóta is rohamosan fejlődik. Célunk természetesen nem lesz olyan ambíciózus, hogy a fenti sejtést igazoljuk, hanem inkább egy klasszikus eredményre, az ún. Kronecker-Weber-tételre fogunk koncentrálni. Ez azt mondja ki, hogy ha a \(\mathbb{Q}\subseteq F\subset\mathbb{C}\) véges testbővítés normális, és a \(\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})\) Galois csoportja kommutatív, akkor van egy olyan \(n\) egész szám, melyre \(F\subseteq \mathbb{Q}(\zeta_n)\), ahol \(\zeta_n\) egy primitív \(n\)-edik egységgyök. A kurzus egyik fő célja, ennek a tételnek a bizonyítása, melynek során megismerjük az algebrai számelmélet alapvető fogalmait és módszereit. A tételt az ún. ,,lokális'' (a \(p\)-adikus számok \(\mathbb{Q}_p\) testére vonatkozó) Kronecker-Weber-tételből bizonyítjuk, rámutatva a lokál-globál elv fontosságára a számelméletben.

Szükséges előismeretek:

Alapvető csoport-, gyűrű- és Galois-elméleti ismeretek. A szemlélet miatt hasznos, de egyáltalán nem előfeltétel, az algebrai geometria bevezető szintű ismerete.

Tematika, az egyes előadások anyagai

Az első néhány előadáson bevezetjük a számtestek (azaz a racionális számok véges bővítéseinek) algebrai egészeihez kapcsolódó alapvető fogalmakat. Ezután Dedekind gyűrűk ideálelméletével, az osztályszám Minkowski-féle becslésével, elágazás-elmélettel, illetve prímideáloknál vett lokalizálással és teljessé tétellel folytatjuk. A félév második felében leginkább lokális testekkel fogunk foglalkozni, azaz olyan testekkel, melyek teljesek egy diszkrét értékelésre nézve és maradéktestük véges. Ezek struktúráját részletesen leírjuk ún. ,,Witt gyűrű'' segítségével. Megvizsgáljuk lokális testek bővítéseit is, és bevezetjük a Galois-csoportok elágazási részcsoportjait, ill. rámutatunk ezeknek a multiplikatív csoport részcsoportjaihoz fűződő kapcsolatára. A Galois-elméleti előismereteknek pl. az alábbi jegyzetből lehet utánanézni. Ez egy viszonylag tömör jegyzet, aminek kicsit más a felépítése, mint Kiss Emil Bevezetés az Algebrába c. könyvében a Galois-elmélet c. fejezetnek, de természetesen abból is nagyon jól meg lehet tanulni az alapokat.

1. előadás: szeptember 9. Bevezetés. A kvadratikus reciprocitási tétel bizonyítása Gauss-ciklusokkal.

Egész elemek gyűrűbővítésben, ezek részgyűrűt alkotnak. Egész lezárt.

2. előadás: szeptember 9. Nyom, norma, Hilbert 90-es tétele, a normál-bázis tétel. Bázis diszkriminánsa. Egész bázis, számtestek diszkriminánsa. Törtideálok, mint végesen generált \(\mathcal{O}_K\)-részmodulusok, ezek diszkriminánsa, kapcsolat az indexszel. \(\mathcal{O}_K\) Dedekind gyűrű, azaz noether, egészre zárt, és 1-dimenziós (minden nem nulla prímideál maximális).

3. előadás: szeptember 16. Dedekind gyűrűben egyértelmű prímfelbontás a(z tört)ideálokra. Osztálycsoport.

\(\mathbb{Z}\)-rácsok \(\mathbb{R}^n\)-ben, fundamentális tartományok. Térfogat. Minkowski-féle rácsponttétel.

4. előadás: szeptember 23. Konjugálás-invariáns bilineáris forma \(K_{\mathbb{C}}=K\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{C}\)-n, \(K_{\mathbb{R}}\subset K_{\mathbb{C}}\) a konjugálás-invariáns altér mint Minkowski-tér. Az \(\mathcal{O}_K\) által meghatározott rács, ennek fundamentális tartományának a térfogata. Abszolút norma, az osztályszám végessége. Alsóbecslés a diszkriminánsra. Dirichlet-féle egységtétel (gyakorlaton).

5. előadás: szeptember 30. Kommutatív gyűrű prímidieáljánál vett lokalizálás. Diszkrét értékelésgyűrűk (DVR), Weierstrass előkészítési tételének analógja. Értékelések. Dedekind gyűrű lokalizáltja is Dedekind, sőt, egy noether-féle integritási tartomány pontosan akkor Dedekind, ha lokálisan DVR. Osztálycsoport és a lokalizálás kapcsolata (egzakt sorozat). Egy prím akkor és csak akkor ágazik el, ha osztója a diszkriminánsnak.

6. előadás: október 7. Dedekind gyűrűk bővítései. Prímideálok felbontása a nagyobb gyűrűben, elágazási index, inerciafok. Fundamentális egyenlet. Teljesen felbomló, elágazásmentes, illetve, teljesen elágazó prímek. Egyszerű gyűrűbővítés esetén kapcsolat a minimálpolinom mod p felbontásával. Galois-bővítés esetén Galois-hatás a p feletti prímeken, tranzitivitás.

7. előadás: október 14. Hilbert-féle elágazáselmélet, felbontási részcsoport a Galois-csoportban, felbontási test. Homomorfizmus a mod p Galois-csoportba, inerciarészcsoport, Frobenius felemelt. Körosztási testek, Fermat-sejtés reguláris prímekre (gyakorlaton).

8. előadás: október 21. Abszolútértékek, approximáció. Arkhimédeszi és nem-arkhimédeszi értékelések, ultrametrika. Ostrowski tétele \(\mathbb{Q}\) értékeléseiről. Kapcsolat a DVR-ekkel. Telítés, a p-adikus számok teste. Egész elemek.

9. előadás: november 4. Projektív és injektív limesz, egzaktsági tulajdonságok. Nemüres kompakt halmazok inverz limesze nemüres és kompakt. Hensel lemma.

10. előadás: november 11. Multiplikatív (Teichmüller-) reprezentánsok. Értékelések kiterjesztése, egyértelműség. Lokális testek. p-adikus log és exp, a multiplikatív csoport leírása. Newton-poligonok.

11. előadás: november 18. Hensel-féle testek, szelíden elágazó bővítések, magasabb elágazási részcsoportok.

12. előadás: november 25. A lokális Kronecker-Weber tétel bizonyítása.

13. előadás: december 2. A globális Kronecker-Weber tétel bizonyítása.

14. előadás: december 9. További témák, kitekintés, mese a Langlands programról.

A vizsga

A vizsgán mindenki egy tételt húz, amit bizonyítani kell.

Ajánlott irodalom

[1] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie (Springer, 1992) (létezik angol fordításban is, Algebraic Number Theory címen).
[2] Serge Lang: Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics 110 (Springer, 1970, 1986, 1994).
[3] Jean-Pierre Serre: Local Fields, Graduate Texts in Mathematics 67, (Springer, 1979, 2nd editition 1995) (létezik francia eredetiben is Corps locaux (Hermann, Paris) címen).
[4] James Milne: Algebraic Number Theory, online notes.

A gyakorlat:

(Szerda 13:40-15:10, teams)

A gyakorlaton az előadáshoz kapcsolódó feladatokat fogunk megoldani. A feladatokat mindig az előadás hetén fogom kiosztani, de megbeszélni csak a következő héten fogjuk őket, ezek mind "házi feladatok", melyek beadásával lehet megszerezni a gyakorlati jegyet.

Feladatsorok


A gyakorlathoz lesznek feladatsorok (előreláthatólag 10 db), mindegyiken különböző nehézségű és pontszámú feladattal. A következők a szabályok: mindegyik feladatsorról tetszőleges számú feladatot be lehet adni a következő órán, de feladatsoronként csak max. 10 pontot lehet szerezni (nyilván aki ennél többet érne el, az is 10-et kap). A jeles gyakorlati jegyhez 70 pontot kell gyűjteni a félév során. A megoldott feladat táblánál való elmondásáért feladatonként 1 pluszpontot adok, ami nem számít bele a maximális 10-be, de az elérendő 70-be igen (jól jártok). Ha több jelentkező van egy feladat elmondására, akkor először annak van joga elmondani, akinek addig kevesebb pontja van. Nyilván sok feladat megoldását meg lehet találni az interneten. Nem bánom, ha a google segítségével oldjátok meg őket - ellenőrizni úgy sem tudom. Az viszont fontos, hogy amelyik megoldást leírjátok, azt értsétek is - ezt igyekszem ellenőrizni.

1. feladatsor (beadható szeptember 16-ig) Problem Sheet 1 (to be handed in until 16th September 2020
2. feladatsor (beadható szeptember 23-ig)
3. feladatsor (beadható október 7-ig)
4. feladatsor (beadható október 14-ig)
5. feladatsor (beadható október 21-ig)
6. feladatsor (beadható november 4-ig)
7. feladatsor (beadható november 11-ig)
8. feladatsor (beadható november 18-ig)
9. feladatsor (beadható november 25-ig)
10. feladatsor (beadható december 2-ig)
11. feladatsor (beadható december 9-ig)

Vissza