Algebrai számelmélet I. (Fejezetek az algebrából)

Kedd 8:30-10:00

Általános tudnivalók

Ez a kurzus bevezetést szeretne nyújtani a matematika egyik legrégebbi területébe, az algebrai számelméletbe. Annak ellenére, hogy a Fermat-sejtést - mely többszáz éven keresztül az algebrai számelméleti kutatás fő motivációját szolgálta - jó 15 éve bebizonyította Andrew Wiles, a terület azóta is rohamosan fejlődik. Célunk természetesen nem lesz olyan ambíciózus, hogy a fenti sejtést igazoljuk, hanem inkább egy klasszikus eredményre, az ún. Kronecker-Weber-tételre fogunk koncentrálni. Ez azt mondja ki, hogy ha a Qn), ahol z_n egy primitív n-edik egységgyök. A tételnek létezik ,,elemi" bizonyítása is, ennek ellenére célunk olyan módszerek szisztematikus felépítése, ill. szemlélet kialakítása lesz, mely hasznos lehet a hallgatóság jövőbeli kutatásai során. Ennek megfelelően az őszi félévben a ,,globális" alapokkal kezdjük, és megmutatjuk, hogyan következik a tétel fenti formája a ,,lokális" (a p-adikus számok Q_p testére vonatkozó) Kronecker-Weber-tételből. A tavaszi félévben (amikor a kurzus a terv szerint folytatódni fog) pedig főként lokális osztálytest-elmélettel fogunk foglalkozni, melynek speciális eseteként belátjuk a fent említett lokális Kronecker-Weber-tételt is.

Szükséges előismeretek:

Alapvető csoport-, gyűrű- és Galois-elméleti ismeretek. A szemlélet miatt hasznos, de egyáltalán nem előfeltétel, az algebrai geometria bevezető szintű ismerete.

Tematika

Az első néhány előadáson bevezetjük a számtestek (azaz a racionális számok véges bővítéseinek) algebrai egészeihez kapcsolódó alapvető fogalmakat. Ezután Dedekind gyűrűk ideálelméletével, az osztályszám Minkowski-féle becslésével, elágazás-elmélettel, illetve prímideáloknál vett lokalizálással és teljessé tétellel folytatjuk. A félév második felében leginkább lokális testekkel fogunk foglalkozni, azaz olyan testekkel, melyek teljesek egy diszkrét értékelésre nézve és maradéktestük véges. Ezek struktúráját részletesen leírjuk ún. ,,Witt gyűrűk" segítségével. Megvizsgáljuk lokális testek bővítéseit is, és bevezetjük a Galois-csoportok elágazási részcsoportjait, ill. rámutatunk ezeknek a multiplikatív csoport részcsoportjaihoz fűződő kapcsolatára.

A vizsga

A vizsgán mindenki egy tételpárt húz. Mindkét tételt bizonyítani kell. Aki a az órán kapott házifeladatoknak több, mint a felét helyesen megoldja (és beadja), annak a vizsgán kapott két tétel közül csak az egyiket kell bizonyítania (szabadon választható, hogy melyiket).

Ajánlott irodalom

[1] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie (Springer, 1992) (létezik angol fordításban is, Algebraic Number Theory címen).
[2] Serge Lang: Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics 110 (Springer, 1970, 1986, 1994).
[3] Jean-Pierre Serre: Local Fields, Graduate Texts in Mathematics 67, (Springer, 1979, 2nd editition 1995) (létezik francia eredetiben is Corps locaux (Hermann, Paris) címen).

Vissza