A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.
1. előadás: február 13. Testbővítések (részben ismétlés). Az egyszerű testbővítések szerkezete algebrai elemmel való bővítés esetén. A bővítés foka egyenlő a minimálpolinom fokával. Az egyszerű testbővítés, mint faktorgyűrű, egyszerű testbővítés konstrukciója.
K-homomorfizmusok, HomK(K(α),L) mint halmaz azonosítása α minimálpolinomjának L-beli gyökeinek halmazával. Tökéletes testek, p-karakterisztikájú test pontosan akkor tökéletes, ha a p-Frobenius szürjektív. Szeparábilis elemek, jellemzésük HomK(K(α),K) elemszámával. K-homomorfizmusok kiterjesztése, |HomK(L,M)|≤|L:K|. Ha α szeparábilis, akkor K(α) minden eleme az. Szeparábilis elemek résztestet alkotnak.
2. előadás: február 20. Minden véges szeparábilis bővítés egyszerű. Felbontási test fogalma. Normális bővítések, jellemzésük HomK(L,L)-lel. Galois-bővítések, ezek Galois-csoportja: HomK(L,L). A Galois-elmélet főtétele.
3. előadás: február 27. Közbülső testek és részcsoportok kapcsolata. A Galois-csoport mint a polinom gyökeinek permutációcsoportja.
Véges testek elemszáma, létezése, egyértelműsége. Minden véges test tökéletes. Véges test véges bővítése mindig normális, a Galois-csoport ciklikus, a Galois-csoport generátoreleme, a közbülső testek száma és foka. A kvadratikus reciprocitási tétel bizonyítása Gauss-ciklusokkal. A Kronecker-Weber tétel (NB).
A március 6-ai előadás és gyakorlat a két ZH fejében elmarad (külföldön leszek).
4. előadás: március 13. Wedderburn tételének bizonyítása (minden véges ferdetest kommutatív).
Geometriai szerkesztések. Az alapadatok által generált test. A szerkesztési lépések és a másodfokú bővítések kapcsolata. Komplex szám szerkeszthetősége. A szerkeszthető számok jellemzése: minimálpolinomjuk felbontási testének foka az alaptest felett 2-hatvány. Konkrét szerkesztési feladatok megoldhatatlansága: kockakettőzés, szögharmadolás, körnégyszögesítés. A körosztási test foka és Galois-csoportja. Szabályos sokszögek szerkeszthetőségének jellemzése.
Nulla karakterisztikájú test gyökökkel elérhető bővítése, a gyökkifejezés fogalma. Az xp-a polinom felbontási teste; ha az alaptest tartalmazza a p-edik egységgyököket, akkor ez a bővítés első vagy p-edfokú. Ha egy szám tágabb értelemben vett gyökkifejezés, akkor a minimálpolinomjának a Galois-csoportja feloldható. Ha az alaptest tartalmazza a p-edik egységgyököket, akkor minden p fokú bővítés egy p-edik gyök hozzávételével kapható; Lagrange-rezolvens (Gy). Minden egységgyök gyökkifejezés. A gyökökkel megoldható polinomok jellemzése a Galois-csoport feloldhatóságával. Az x5-4x+2 polinom Galois-csoportja S5 (Gy), és így nem oldható meg gyökjelekkel. Következmény: a legalább ötödfokú egyenletre nincs általános megoldóképlet.
6. előadás: április 3. Részben rendezett halmaz, legkisebb felső korlát, legnagyobb alsó korlát, háló, teljes háló. A hálók megadása a műveletekre vonatkozó axiómarendszerrel, a két definíció ekvivalenciája. Partícióháló, komplementum.
Moduláris háló definíciója, kongruenciafelcserélhető algebra kongruenciahálója moduláris. A modularitás jellemzése tiltott részhálókkal (NB).
Disztributív háló, kongruenciák és ideálok. Stone-tétele.
Első évfolyamzárthelyi az 1-4. előadások anyagából: április 3. (szerda), 16:00-18:00, É 0.100A
7. előadás: április 10. Inverz limesz, direkt limesz. Kompaktak inverz limesze kompakt. Abel-csoportokon a direkt limesz egzakt, inverz limesz balegzakt. Algebrai lezárt létezése. Végtelen Galois-csoportok, abszolút Galois-csoport.
8. előadás: április 12. (péntek, 10:15-12:00, szokatlan időpont!) Maschke tétele a csoportalgebra féligegyszerűségéről. Frobenius tétele az R fölötti végesdimenziós nullosztómentes algebrákról. Kvaternióalgebrák, általánosítások.
9. előadás: április 17. A csoportreprezentáció fogalma, foka és karaktere. Kapcsolat a csoportalgebra feletti modulusok és a reprezentációk között. Ekvivalens reprezentációk. Egyszerű modulusok és irreducibilis reprezentációk. A csoportalgebra centruma, osztályfüggvények. Az irreducibilis reprezentációk száma a csoport konjugált elemosztályainak a száma, a fokok négyzetösszege a csoport rendje. Abel-csoport reprezentációi.
10. előadás: április 24. A karaktertábla, elemei algebrai egészek. A reguláris reprezentáció, karaktere, felbontása irreducibilisek összegére. Az ortogonális idempotensek együtthatói a csoportalgebrában. I. és II. ortogonalitási reláció. A karakterek ortonormált bázist alkotnak az osztályfüggvények között. Következmény: ha a karakterek egyenlők, akkor a reprezentációk ekvivalensek.
Karakter magja és centruma. Irreducibilis karakter foka osztója a csoport rendjének. Burnside tétele: véges nemkommutatív egyszerű csoportban nem lehet prímhatványrendű konjugált elemosztály. Következmény: ha egy csoport rendje legfeljebb két prímmel osztható, akkor a csoport feloldható.
11. előadás: május 8. Indukált reprezentációk, jellemzésük G->V függvényekkel, illetve tenzorszorzattal. Frobenius reciprocitás. Frobenius-csoportok, Frobenius tétele a fixpontmentes elemekről.
Második évfolyamzárthelyi a 5-10. előadások anyagából: május 15. (szerda), 16:00-18:00
A vizsgán mindenki egy tételpárt húz. Ezek egyike egy bizonyítás ismertetése, a másik néhány tételt felölelő téma, ahol a definíciókat, az eredmények összefüggéseit kell elmondani (de a bizonyításokba itt is belekérdezhet a vizsgáztató). Az átmenéshez mindkét tételt legalább elégséges szinten tudni kell.
| [1] | Freud Róbert:
Lineáris Algebra (ELTE kiadó). |
|---|---|
| [2] | Fagyejev-Szominszkij:
Felsőfokú algebrai feladatok (TypoTeX kiadó, 2000). |
| [3] | Kiss Emil:
Bevezetés az algebrába (TypoTeX kiadó, 2007) |
| [4] | Szendrei-Czédli-Szendrei:
Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó). |
| [5] | Fried Ervin:
Algebra I-II (Tankönyvkiadó). |
|---|---|
| [6] | Freud Róbert,
Gyarmati Edit: Számelmélet (Tankönyvkiadó). |
| [7] | Fuchs László:
Algebra (egyetemi jegyzet). |
| [8] | Varga Tamás: Matematikai logika
kezdőknek I-II (Tankönyvkiadó). |
| [9] | Rényi Alfréd:
Ars Mathematica (Magvető Könyvkiadó). |
| [10] | Péter Rózsa:
Játék a végtelennel (Tankönyvkiadó). |
| [11] | Teruyoshi Yoshida:
Galois Theory. |
| [12] | Kiss Emil:
Normál komplementumok, csoportreprezentációk. |
A gyakorlat kis csoportokban zajlik, az elméleti anyag megértésére szolgál önálló feladatmegoldás segítségével. A gyakorlatra kötelező járni, egy félévben legfeljebb három hiányzás megengedett. Ha háromnál több hiányzás van, az nem elégtelen gyakorlati jegyet jelent, hanem aláírásmegtagadást, ilyenkor tehát a gyakorlatot újra kell járni, és persze vizsgázni sem lehet. A gyakorlat előtt mindenki nézze át az előadás anyagát, és értse meg a fogalmakat és a tételeket.
Két évfolyamzárthelyit írunk, amelyek hat (esetleg hét) feladatot tartalmaznak, mindegyik 1 pontot ér. A zárthelyin csak egy maximum egy oldalas kézzel írott puska használható. A zárthelyi jegye a pontszám egészrésze, az átmenéshez mindkét zh-n legalább elégségest kell szerezni. Amennyiben mindkét zh-n legalább elégséges jegy született, a gyakorlati jegy minimum a két zh átlagának (alsó) egészrésze. Ennél jobbat órai munka, illetve esetlegesen beadott nehezebb (csillagos feladatok) alapján lehet kapni. Ezeket a feladatokat a félév során kell beadni, és NEM a két zh megírása után, amikor esetlegesen rájöttünk, hogy a gyakorlati jegy nem lesz olyan, mint amilyennek elképzeltük. A javító zh-knak (sok kollégámmal ellentétben, de sok más kollégámmal egyetértésben) nem vagyok híve, mert véleményem szerint a gyakorlati jegy az egész féléves teljesítményt kell tükrözze. Továbbá meggyőződésem, hogy a tananyagot leginkább óráról órára készülve, és nem a zh/vizsga előtt pár nappal lehet elsajátítani. Ennek megfelelően pót-zh-ra csak abban az esetben van lehetőség, ha valaki valamelyik zh-t nem írta meg, viszont egyébként (a zh-ról való hiányzással együtt) nem hiányzott 3-nál többet. A javító zh-t csak rendkívül indokolt esetben tartom elképzelhetőnek, ha valakinek az egyik zh-ja sokkal rosszabbul sikerült, mint a másik, és az órai jó teljesítménye ezt indokolja.
Azoknak, akik (elsőre) elégtelen gyakorlati jegyet szereztek, természetesen lehetőségük lesz egyszeri javítási lehetőségre gyakjegy-UV formájában.