A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.
1. előadás: szeptember 15. Példák csoportokra: gyűrű additív, ill. multiplikatív csoportja; ciklikus csoportok; diéder csoport; kvaterniócsoport; Klein-féle négyes csoport; permutációcsoportok (Cayley tétele, miszerint minden csoport permutációcsoport); mátrixcsoportok. Homomorfizmus képe és magja, normálosztó. Komplexusszorzás, faktorcsoport, természetes homomorfizmus. Kettő indexű részcsoport normálosztó (gyakorlaton). A konjugálás, mint automorfizmus. Csoport hatása önmagán konjugálással, konjugáltosztályok. Egy részcsoport akkor és csak akkor normálosztó, ha konjugáltosztályok egyesítése. A centrum. Permutációcsoport, csoport hatása halmazon. Fok, pálya, stabilizátor, összefüggésük, tranzitivitás. A pályák partíciót alkotnak. A kocka szimmetriáinak a száma.
2. előadás: szeptember 22. Homomorfizmustétel. A faktorcsoport részcsoportjai és normálosztói, az izomorfizmus-tételek. A direkt szorzat fogalma és belső jellemzése véges sok tényező esetén. Teljes és diszkrét direkt szorzat. A véges Abel-csoportok alaptétele, egyértelműség (bizonyítás részben gyakorlaton).
3. előadás: szeptember 29. Egy csoport hatása a részcsoportjainak halmazán konjugálással. Részcsoport normalizátora, ennek indexe a részcsoport konjugáltjainak a száma. A \(H\) normalizátora a legnagyobb részcsoport, amiben \(H\) normálosztó. A centralizátor, \(N_G(H)/C_G(H)\) természetes módon részcsoportja \(\operatorname{Aut}(H)\)-nak. \(\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}/(p^n))\) (gyakorlaton).
Cauchy tétele \(p\) rendű elem létezéséről. Kettős mellékosztályok. A \(p\)-Sylow-részcsoport fogalma, a Sylow-tételek. A \(p\)-Sylow részcsoportok száma, ez osztója az indexének. Egy \(p\)-Sylow részcsoport akkor és csak akkor normálosztó, ha csak egy van belőle. Következmény: \(pq\) rendű csoport nem lehet egyszerű.
Csoport hatása normálosztón konjugálással, szemidirekt szorzat. Nemkommutatív \(pq\) rendű csoport konstrukciója alkalmas \(p\) és \(q\) esetén. Példák szemidirekt szorzatra.
4. előadás: október 6. Normállánc, kompozíciólánc. Jordan-Hölder-tétel. Feloldható csoportok. Egy csoport kommutátorrészcsoportja, ez a legnagyobb Abel-féle homomorf kép, univerzális tulajdonság. A feloldhatóság jellemzése a kommutátorlánc segítségével. A kommutátorlánc elemei karakterisztikus részcsoportok. Prímhatvány rendű csoport feloldható.
5. előadás: október 13. Egyszerű csoportok, \(A_n\) egyszerű, ha \(n>4\).
Szabad csoport. Minden csoport előáll egy szabad csoport faktorcsoportjaként. Csoport megadása generátorokkal és definiáló relációkkal. Dyck tétele. A Nielsen-Schreier tétel (NB).
6. előadás: október 20. Részgyűrű, homomorfizmus, ideál, faktorgyűrű, homomorfizmus-tétel. A komplex számok mint faktorgyűrű. Direkt szorzat. Egységelemes bővítés létezése (GY). Bal- és jobbideál, a generált ideál képlete kommutatív, egységelemes gyűrűben. Egyszerű gyűrűk, minden ferdetest feletti teljes mátrixgyűrű egyszerű (GY). Jobb és bal oldali annullátor. A balideálmentes gyűrűk szerkezete. Következmény: egységelemes kommutatív gyűrű maximális ideálja szerinti faktor test. Zorn-lemma (NB). Krull tétele: egységelemes gyűrű minden valódi ideálja benne van egy maximális ideálban.
7. előadás: október 27. A maximum-feltétel ekvivalens alakjai, kapcsolat a véges generáltsággal. Noether-gyűrű, Hilbert bázis-tétele. Euklideszi gyűrű, ebben minden ideál főideál. Egy egységelemes integritási tartomány akkor és csak akkor alaptételes, ha a főideálokra érvényes a maximum-feltétel és minden irreducibilis elem prím. Következmény: főideálgyűrű, euklideszi gyűrű alaptételes. Példa nem euklideszi főideálgyűrűre (NB); a \(\mathbb{Z}[x]\) alaptételes, de nem főideálgyűrű. Példa nem alaptételes gyűrűre. Az Euler-egészek gyűrűje euklideszi.
Első évfolyamzárthelyi az 1-6. előadások anyagából: november 10., 10:00-12:00, D-00-623 (Konzultáció: november 9, 8:00-10:00, D-3-607)
8. előadás: november 10. (14:05-15:45) Az Euler-prímek leírása. A Fermat-tétel a 3 kitevőre.
9. előadás: november 17. Nullosztómentes gyűrű elemeinek additív rendje, karakterisztika. Prímtest, szerkezete.
A hányadostest konstrukciója és egyértelműsége. Értékelések. Ostrowski tétele a racionális számokon értelmezett értékelésekről.
10. előadás: november 24. Teljesség, telítés Cauchy-sorozatok ekvivalenciaosztályaival. A \(p\)-adikus számok teste.
A modulus fogalma, unitér modulus, példák. Részmodulus, ciklikus modulus, homomorfizmus, faktormodulus, egyszerű modulus. Direkt szorzat és belső jellemzése. A szabad modulusok leírása.
Minden modulus szabadnak faktormodulusa. Elem, ill. modulus annullátora. Modulus endomorfizmusgyűrűje. Schur-lemma.
11. előadás: december 1. \(\operatorname{Hom}_R(A,B)\) mint Abel-csoport, ha \(R\) kommutatív, akkor \(R\)-modulus. Egzakt sorozatok, kommutatív diagramok. 5-lemma. Projektív, ill. injektív modulusok. Projektív modulusok, mint szabad modulusok direktösszeadandói. Injektív \(\mathbb{Z}\)-modulusok, mint osztható Abel-csoportok.
12. előadás: december 8. Főideálgyűrű feletti végesen generált modulusok. Kínai maradéktétel. Szabad modulus része is szabad, torziómentes modulus szabad. Az alaptétel, és az egyértelműség. Kapcsolat Jordan-féle normálalakkal, illetve a véges Abel-csoportok alaptételével.
Második évfolyamzárthelyi a 7-11. előadások anyagából: december 15., 10:00-12:00, D-00-623
13. előadás: december 15. (14:05-15:45) Részben rendezett halmaz. Legkisebb felső korlát, legnagyobb alsó korlát, háló. A hálók megadása a műveletekre vonatkozó axiómarendszerrel. A két definíció ekvivalenciája. Moduláris és disztributív hálók, jellemzésük tiltott részhálókkal (NB). A normálosztóháló, ill. általában ha bármely két kongruencia felcserélhető, akkor a kongruenciaháló moduláris. Stone-tétel disztributív hálókra.
A vizsga szóbeli lesz, célja annak megállapítása, hogy a vizsgázó érti-e az anyagot (ilyesfajta kérdések szerepelhetnek: adjunk példát arra, amikor egy tétel alkalmazható, vagy egy definíció teljesül, szükséges-e egy állítás adott feltétele (ha nem, ellenpéldát kell adni), alkalmazható-e egy definíció egy adott szituációban, alkalmazzunk egy tanult módszert egy konkrét helyzetben). A gyakorlatok (és a konzultációk) segítenek a vizsgára való felkészülésben is.
A vizsgán mindenki egy tételpárt húz. Ezek egyike egy bizonyítás ismertetése, a másik néhány tételt felölelő téma, ahol a definíciókat, az eredmények összefüggéseit kell elmondani (de a bizonyításokba itt is belekérdezhet a vizsgáztató). Az átmenéshez mindkét tételt legalább elégséges szinten tudni kell.
| [1] | Freud Róbert:
Lineáris Algebra (ELTE kiadó). |
|---|---|
| [2] | Fagyejev-Szominszkij:
Felsőfokú algebrai feladatok (TypoTeX kiadó, 2000). |
| [3] | Kiss Emil:
Bevezetés az algebrába (TypoTeX kiadó, 2007) |
| [4] | Szendrei-Czédli-Szendrei:
Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó). |
| [5] | Fried Ervin:
Algebra I-II (Tankönyvkiadó). |
|---|---|
| [6] | Freud Róbert,
Gyarmati Edit: Számelmélet (Tankönyvkiadó). |
| [7] | Fuchs László:
Algebra (egyetemi jegyzet). |
| [8] | Varga Tamás: Matematikai logika
kezdőknek I-II (Tankönyvkiadó). |
| [9] | Rényi Alfréd:
Ars Mathematica (Magvető Könyvkiadó). |
| [10] | Péter Rózsa:
Játék a végtelennel (Tankönyvkiadó). |
A gyakorlat kis csoportokban zajlik, az elméleti anyag megértésére szolgál önálló feladatmegoldás segítségével. A gyakorlatra kötelező járni, egy félévben legfeljebb három hiányzás megengedett. Ha háromnál több hiányzás van, az nem elégtelen gyakorlati jegyet jelent, hanem aláírásmegtagadást, ilyenkor tehát a gyakorlatot újra kell járni, és persze vizsgázni sem lehet. A gyakorlat előtt mindenki nézze át az előadás anyagát, és értse meg a fogalmakat és a tételeket.
Két évfolyamzárthelyit írunk, amelyek hat (esetleg hét) feladatot tartalmaznak, mindegyik 1 pontot ér. A zárthelyin csak egy maximum egy oldalas kézzel írott puska használható. A zárthelyi jegye a pontszám egészrésze, az átmenéshez mindkét zh-n legalább elégségest kell szerezni. Amennyiben mindkét zh-n legalább elégséges jegy született, a gyakorlati jegy minimum a két zh átlagának (alsó) egészrésze. Ennél jobbat órai munka, illetve esetlegesen beadott nehezebb (csillagos feladatok) alapján lehet kapni. Ezeket a feladatokat a félév során kell beadni, és NEM a két zh megírása után, amikor esetlegesen rájöttünk, hogy a gyakorlati jegy nem lesz olyan, mint amilyennek elképzeltük. A javító zh-knak (sok kollégámmal ellentétben, de sok más kollégámmal egyetértésben) nem vagyok híve, mert véleményem szerint a gyakorlati jegy az egész féléves teljesítményt kell tükrözze. Továbbá meggyőződésem, hogy a tananyagot leginkább óráról órára készülve, és nem a zh/vizsga előtt pár nappal lehet elsajátítani. Ennek megfelelően pót-zh-ra csak abban az esetben van lehetőség, ha valaki valamelyik zh-t nem írta meg, viszont egyébként (a zh-ról való hiányzással együtt) nem hiányzott 3-nál többet. A javító zh-t csak rendkívül indokolt esetben tartom elképzelhetőnek, ha valakinek az egyik zh-ja sokkal rosszabbul sikerült, mint a másik, és az órai jó teljesítménye ezt indokolja.
Azoknak, akik (elsőre) elégtelen gyakorlati jegyet szereztek, természetesen lehetőségük lesz egyszeri javítási lehetőségre gyakjegy-UV formájában.