Algebra 3 matematikus


Az előadás
Az egyes előadások tartalma (tematika)
A vizsga
Ajánlott irodalom
A gyakorlat
Feladatsorok

Az előadás


Az algebra kurzusok során először klasszikus, majd lineáris, végül absztrakt algebrát tanulunk. Az oktatás célja egyfajta gondolkodásmód és az algebrai módszerek bemutatása, a feladatmegoldási készség fejlesztése. Emelt szinten feltételezzük, hogy ez részben már megtörtént középiskolában, a Középiskolai Matematikai Lapok és középiskolás versenyfeladatok segítségével.

A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.

Az egyes előadások tartalma

Ebben a félévben absztrakt algebráról lesz szó, ezen belül főként gyűrű- és moduluselméletről. Az alábbi tematika egyben vizsgatematika is. Az NB jelentése: a bizonyítás nem szerepelt, nem kell tudni a vizsgán.

1. előadás: szeptember 11. Részgyűrű, homomorfizmus, ideál, faktorgyűrű, homomorfizmus-tétel. A komplex számok mint faktorgyűrű. Direkt szorzat. Egységelemes bővítés létezése (GY). Bal- és jobbideál, a generált ideál képlete kommutatív, egységelemes gyűrűben. Egyszerű gyűrűk, minden ferdetest feletti teljes mátrixgyűrű egyszerű (GY). Jobb és bal oldali annullátor. A balideálmentes gyűrűk szerkezete. Következmény: egységelemes kommutatív gyűrű maximális ideálja szerinti faktor test. Zorn-lemma (NB). Krull tétele: egységelemes gyűrű minden valódi ideálja benne van egy maximális ideálban.

2. előadás: szeptember 18. A maximum-feltétel ekvivalens alakjai, kapcsolat a véges generáltsággal. Noether-gyűrű, Hilbert bázis-tétele. Euklideszi gyűrű, ebben minden ideál főideál. Egy egységelemes integritási tartomány akkor és csak akkor alaptételes, ha a főideálokra érvényes a maximum-feltétel és minden irreducibilis elem prím. Következmény: főideálgyűrű, euklideszi gyűrű alaptételes. Példa nem euklideszi főideálgyűrűre (NB); a Z[x] alaptételes, de nem főideálgyűrű. Példa nem alaptételes gyűrűre. Az Euler-egészek gyűrűje euklideszi.

3. előadás: szeptember 25. Az Euler-prímek leírása. A Fermat-tétel a 3 kitevőre.

4. előadás: október 2. Nullosztómentes gyűrű elemeinek additív rendje, karakterisztika. Prímtest, szerkezete.

Lokalizálás kommutatív gyűrűkben. A hányadostest konstrukciója és egyértelműsége. Értékelések. Ostrowski tétele a racionális számokon értelmezett értékelésekről.

5. előadás: október 9. Teljesség, telítés Cauchy-sorozatok ekvivalenciaosztályaival. A p-adikus számok teste.

A modulus fogalma, unitér modulus, példák. Részmodulus, ciklikus modulus, homomorfizmus, faktormodulus, egyszerű modulus. Direkt szorzat és belső jellemzése. A szabad modulusok leírása.

Minden modulus szabadnak faktormodulusa. Elem, ill. modulus annullátora. Modulus endomorfizmusgyűrűje. Schur-lemma, Jacobson-féle sűrűségi tétel. HomR(A,B) mint Abel-csoport, ha R kommutatív, akkor R-modulus. Egzakt sorozatok, kommutatív diagramok.

6. előadás: október 16. 5-lemma. Projektív, ill. injektív modulusok. Projektív modulusok, mint szabad modulusok direktösszeadandói. Injektív Z-modulusok, mint osztható Abel-csoportok.

Első évfolyamzárthelyi az 1-5. előadások anyagából: október 26. (péntek), 14:00


7. előadás: november 6. Kategóriák és funktorok. Példák.

Tenzorszorzat mint a bilineáris függvények klasszifikálója, megadása generátorokkal és relációkkal. Az alapgyűrűvel vett tenzorszorzat maga a modulus (gyakorlaton). Direkt összeg és tenzorszorzat (gyakorlaton). A tenzorszorzat szerkezete vektorterek esetében. Homomorfizmusok tenzorszorzata. A tenzorszorzat jobbegzakt. A Hom és a tenzorszorzat egymás adjungált funktorai.

8. előadás: november 13. Főideálgyűrű feletti végesen generált modulusok. Kínai maradéktétel. Szabad modulus része is szabad, torziómentes modulus szabad. Az alaptétel, és az egyértelműség. A Jordan-féle normálalakról szóló tétel bizonyítása.

9. előadás: november 20. Féligegyszerű modulusok: minden részmodulus és faktormodulus is féligegyszerű, a felbontás egyértelműsége. Féligegyszerű gyűrűk ekvivalens jellemzései: minden modulus féligegyszerű; minden modulus projektív; minden modulus injektív; a Hom funktor egzakt; minden részmodulus direkt összeadandó.

A Jacobson radikál, mint a maximális balideálok metszete, ill. az egyszerű bal-modulusok annullátorának metszete, tehát ideál. Nakayama-lemma. J(R) azon x-ek halmaza, melyekre 1-ax invertálható minden R-beli a-ra. Ekkor 1-axb is invertálható, mivel J(R) ideál. Következmény: J(R) bal-jobb szimmetrikus, és tartalmaz minden nilbalideált.

10. előadás: november 27. R pontosan akkor féligegyszerű, ha bal-Artin és J(R)=0. Féligegyszerű gyűrűk felbontása homogén részmodulusok direkt összegére. A homogén részmodulusok ideálok, tehát ez egy gyűrű direktösszeg. Minden féligegyszerű gyűrű ferdetest feletti mátrixgyűrűk (véges) direkt összege (Wedderburn-Artin).

Artin gyűrűben J(R) nilpotens. Hopkins tétele (bal artin gyűrű bal noether).

11. előadás: december 4. Egész elemek szokásos gyűrű fölött. Az egészek jellemzése véges modulusbővítésekkel, az egészek gyűrűt alkotnak. Minden algebrai elem egy egész és egy alapgyűrűbeli elem hányadosa. Minden alaptételes gyűrű egész-zárt. Egészek minimálpolinomja.

Ha egy test véges sok elemmel vett gyűrűbővítése is test, akkor a bővítő elemek mindegyike algebrai. Következmény: algebrailag zárt test feletti polinomgyűrű maximális ideáljainak a leírása. Alkalmazás: Hilbert nullahely-tétele. Ideál radikálja.

Második évfolyamzárthelyi a 6-10. előadások anyagából: december 7. (péntek), 14:00, Északi tömb, 0.79

12. előadás: december 11. A prímideál és a primér ideál fogalma, ideál radikálja. Noether gyűrűben maximális ideál => prímideál => metszetirreducibilis ideál => primér ideál => prímradikálú ideál. Ideálok felbontása Noether-gyűrűben metszet-irreducibilisek metszetére, Noether-Lasker tétele. Rövidíthetetlen metszetben a primérideálok radikáljai különböző prímideálok, ezek egyértelműek. Geometriai interpretáció, Zariski topológia, gyűrű spektruma, mint topologikus tér (mese).

A vizsga

A vizsga szóbeli lesz, célja annak megállapítása, hogy a vizsgázó érti-e az anyagot (ilyesfajta kérdések szerepelhetnek: adjunk példát arra, amikor egy tétel alkalmazható, vagy egy definíció teljesül, szükséges-e egy állítás adott feltétele (ha nem, ellenpéldát kell adni), alkalmazható-e egy definíció egy adott szituációban, alkalmazzunk egy tanult módszert egy konkrét helyzetben). A gyakorlatok (és a konzultációk) segítenek a vizsgára való felkészülésben is.

A vizsgán mindenki egy tételpárt húz. Ezek egyike egy bizonyítás ismertetése, a másik néhány tételt felölelő téma, ahol a definíciókat, az eredmények összefüggéseit kell elmondani (de a bizonyításokba itt is belekérdezhet a vizsgáztató). Az átmenéshez mindkét tételt legalább elégséges szinten tudni kell.

Elsődlegesen ajánlott irodalom

A két fő tankönyv lineáris algebrából az [1], az anyag többi részéből a [3]. Ezek mindegyike feladatgyűjtemény is egyben. A [2] és [4] kiegészítő feladatgyűjtemények.
[1] Freud Róbert: Lineáris Algebra (ELTE kiadó).
[2] Fagyejev-Szominszkij: Felsőfokú algebrai feladatok (TypoTeX kiadó, 2000).
[3] Kiss Emil: Bevezetés az algebrába (TypoTeX kiadó, 2007)
[4] Szendrei-Czédli-Szendrei: Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó).

További ajánlott irodalom

Számelméleti ismeretekre állandóan szükség van, ezek a [6] könyvből tanulhatók meg. A logikai készségek gyakorlásához és tudatosításához a [8] könyv nyújt segítséget. A [9], [10] könyvek a matematikáról szólnak mindenkinek (még a laikus barátoknak is).
[5] Fried Ervin: Algebra I-II (Tankönyvkiadó).
[6] Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet (Tankönyvkiadó).
[7] Fuchs László: Algebra (egyetemi jegyzet).
[8] Varga Tamás: Matematikai logika kezdőknek I-II (Tankönyvkiadó).
[9] Rényi Alfréd: Ars Mathematica (Magvető Könyvkiadó).
[10] Péter Rózsa: Játék a végtelennel (Tankönyvkiadó).

A gyakorlat:

(Péntek 14-16)

A gyakorlat kis csoportokban zajlik, az elméleti anyag megértésére szolgál önálló feladatmegoldás segítségével. A gyakorlatra kötelező járni, egy félévben legfeljebb három hiányzás megengedett. Ha háromnál több hiányzás van, az nem elégtelen gyakorlati jegyet jelent, hanem aláírásmegtagadást, ilyenkor tehát a gyakorlatot újra kell járni, és persze vizsgázni sem lehet. A gyakorlat előtt mindenki nézze át az előadás anyagát, és értse meg a fogalmakat és a tételeket.

Két évfolyamzárthelyit írunk, amelyek hat (esetleg hét) feladatot tartalmaznak, mindegyik 1 pontot ér. A zárthelyin csak egy maximum egy oldalas kézzel írott puska használható. A zárthelyi jegye a pontszám egészrésze, az átmenéshez mindkét zh-n legalább elégségest kell szerezni. Amennyiben mindkét zh-n legalább elégséges jegy született, a gyakorlati jegy minimum a két zh átlagának (alsó) egészrésze. Ennél jobbat órai munka, illetve esetlegesen beadott nehezebb (csillagos feladatok) alapján lehet kapni. Ezeket a feladatokat a félév során kell beadni, és NEM a két zh megírása után, amikor esetlegesen rájöttünk, hogy a gyakorlati jegy nem lesz olyan, mint amilyennek elképzeltük. A javító zh-knak (sok kollégámmal ellentétben, de sok más kollégámmal egyetértésben) nem vagyok híve, mert véleményem szerint a gyakorlati jegy az egész féléves teljesítményt kell tükrözze. Továbbá meggyőződésem, hogy a tananyagot leginkább óráról órára készülve, és nem a zh/vizsga előtt pár nappal lehet elsajátítani. Ennek megfelelően pót-zh-ra csak abban az esetben van lehetőség, ha valaki valamelyik zh-t nem írta meg, viszont egyébként (a zh-ról való hiányzással együtt) nem hiányzott 3-nál többet. A javító zh-t csak rendkívül indokolt esetben tartom elképzelhetőnek, ha valakinek az egyik zh-ja sokkal rosszabbul sikerült, mint a másik, és az órai jó teljesítménye ezt indokolja.

Azoknak, akik (elsőre) elégtelen gyakorlati jegyet szereztek, természetesen lehetőségük lesz egyszeri javítási lehetőségre gyakjegy-UV formájában.

Feladatsorok


1. Gyakorlat (Szeptember 14.)
2. Gyakorlat (Szeptember 21.)
3. Gyakorlat (Szeptember 28.)
4. Gyakorlat (Október 5.)
5. Gyakorlat (Október 12.)
6. Gyakorlat (Október 19.)
1. ZH (Október 26.) megoldások

7. Gyakorlat (November 9.)
8. Gyakorlat (November 16.)
9. Gyakorlat (November 23.)
10. Gyakorlat (November 30.)

Vissza