A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.
1. előadás: szeptember 11. Részgyűrű, homomorfizmus, ideál, faktorgyűrű, homomorfizmus-tétel. A komplex számok mint faktorgyűrű. Direkt szorzat. Egységelemes bővítés létezése (GY). Bal- és jobbideál, a generált ideál képlete kommutatív, egységelemes gyűrűben. Egyszerű gyűrűk, minden ferdetest feletti teljes mátrixgyűrű egyszerű (GY). Jobb és bal oldali annullátor. A balideálmentes gyűrűk szerkezete. Következmény: egységelemes kommutatív gyűrű maximális ideálja szerinti faktor test. Zorn-lemma (NB). Krull tétele: egységelemes gyűrű minden valódi ideálja benne van egy maximális ideálban.
2. előadás: szeptember 18. A maximum-feltétel ekvivalens alakjai, kapcsolat a véges generáltsággal. Noether-gyűrű, Hilbert bázis-tétele. Euklideszi gyűrű, ebben minden ideál főideál. Egy egységelemes integritási tartomány akkor és csak akkor alaptételes, ha a főideálokra érvényes a maximum-feltétel és minden irreducibilis elem prím. Következmény: főideálgyűrű, euklideszi gyűrű alaptételes. Példa nem euklideszi főideálgyűrűre (NB); a Z[x] alaptételes, de nem főideálgyűrű. Példa nem alaptételes gyűrűre. Az Euler-egészek gyűrűje euklideszi.
3. előadás: szeptember 25. Az Euler-prímek leírása. A Fermat-tétel a 3 kitevőre.
4. előadás: október 2. Nullosztómentes gyűrű elemeinek additív rendje, karakterisztika. Prímtest, szerkezete.
Lokalizálás kommutatív gyűrűkben. A hányadostest konstrukciója és egyértelműsége. Értékelések. Ostrowski tétele a racionális számokon értelmezett értékelésekről.
5. előadás: október 9. Teljesség, telítés Cauchy-sorozatok ekvivalenciaosztályaival. A p-adikus számok teste.
A modulus fogalma, unitér modulus, példák. Részmodulus, ciklikus modulus, homomorfizmus, faktormodulus, egyszerű modulus. Direkt szorzat és belső jellemzése. A szabad modulusok leírása.
Minden modulus szabadnak faktormodulusa. Elem, ill. modulus annullátora. Modulus endomorfizmusgyűrűje. Schur-lemma, Jacobson-féle sűrűségi tétel. HomR(A,B) mint Abel-csoport, ha R kommutatív, akkor R-modulus. Egzakt sorozatok, kommutatív diagramok.
6. előadás: október 16. 5-lemma. Projektív, ill. injektív modulusok. Projektív modulusok, mint szabad modulusok direktösszeadandói. Injektív Z-modulusok, mint osztható Abel-csoportok.
Első évfolyamzárthelyi az 1-5. előadások anyagából: október 26. (péntek), 14:00
7. előadás: november 6. Kategóriák és funktorok. Példák.
Tenzorszorzat mint a bilineáris függvények klasszifikálója, megadása generátorokkal és relációkkal. Az alapgyűrűvel vett tenzorszorzat maga a modulus (gyakorlaton). Direkt összeg és tenzorszorzat (gyakorlaton). A tenzorszorzat szerkezete vektorterek esetében. Homomorfizmusok tenzorszorzata. A tenzorszorzat jobbegzakt. A Hom és a tenzorszorzat egymás adjungált funktorai.
8. előadás: november 13. Főideálgyűrű feletti végesen generált modulusok. Kínai maradéktétel. Szabad modulus része is szabad, torziómentes modulus szabad. Az alaptétel, és az egyértelműség. A Jordan-féle normálalakról szóló tétel bizonyítása.
9. előadás: november 20. Féligegyszerű modulusok: minden részmodulus és faktormodulus is féligegyszerű, a felbontás egyértelműsége. Féligegyszerű gyűrűk ekvivalens jellemzései: minden modulus féligegyszerű; minden modulus projektív; minden modulus injektív; a Hom funktor egzakt; minden részmodulus direkt összeadandó.
A Jacobson radikál, mint a maximális balideálok metszete, ill. az egyszerű bal-modulusok annullátorának metszete, tehát ideál. Nakayama-lemma. J(R) azon x-ek halmaza, melyekre 1-ax invertálható minden R-beli a-ra. Ekkor 1-axb is invertálható, mivel J(R) ideál. Következmény: J(R) bal-jobb szimmetrikus, és tartalmaz minden nilbalideált.
10. előadás: november 27. R pontosan akkor féligegyszerű, ha bal-Artin és J(R)=0. Féligegyszerű gyűrűk felbontása homogén részmodulusok direkt összegére. A homogén részmodulusok ideálok, tehát ez egy gyűrű direktösszeg. Minden féligegyszerű gyűrű ferdetest feletti mátrixgyűrűk (véges) direkt összege (Wedderburn-Artin).
Artin gyűrűben J(R) nilpotens. Hopkins tétele (bal artin gyűrű bal noether).
11. előadás: december 4. Egész elemek szokásos gyűrű fölött. Az egészek jellemzése véges modulusbővítésekkel, az egészek gyűrűt alkotnak. Minden algebrai elem egy egész és egy alapgyűrűbeli elem hányadosa. Minden alaptételes gyűrű egész-zárt. Egészek minimálpolinomja.
Ha egy test véges sok elemmel vett gyűrűbővítése is test, akkor a bővítő elemek mindegyike algebrai. Következmény: algebrailag zárt test feletti polinomgyűrű maximális ideáljainak a leírása. Alkalmazás: Hilbert nullahely-tétele. Ideál radikálja.
Második évfolyamzárthelyi a 6-10. előadások anyagából: december 7. (péntek), 14:00, Északi tömb, 0.79
12. előadás: december 11. A prímideál és a primér ideál fogalma, ideál radikálja. Noether gyűrűben maximális ideál => prímideál => metszetirreducibilis ideál => primér ideál => prímradikálú ideál. Ideálok felbontása Noether-gyűrűben metszet-irreducibilisek metszetére, Noether-Lasker tétele. Rövidíthetetlen metszetben a primérideálok radikáljai különböző prímideálok, ezek egyértelműek. Geometriai interpretáció, Zariski topológia, gyűrű spektruma, mint topologikus tér (mese).
A vizsgán mindenki egy tételpárt húz. Ezek egyike egy bizonyítás ismertetése, a másik néhány tételt felölelő téma, ahol a definíciókat, az eredmények összefüggéseit kell elmondani (de a bizonyításokba itt is belekérdezhet a vizsgáztató). Az átmenéshez mindkét tételt legalább elégséges szinten tudni kell.
[1] | Freud Róbert:
Lineáris Algebra (ELTE kiadó). |
---|---|
[2] | Fagyejev-Szominszkij:
Felsőfokú algebrai feladatok (TypoTeX kiadó, 2000). |
[3] | Kiss Emil:
Bevezetés az algebrába (TypoTeX kiadó, 2007) |
[4] | Szendrei-Czédli-Szendrei:
Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó). |
[5] | Fried Ervin:
Algebra I-II (Tankönyvkiadó). |
---|---|
[6] | Freud Róbert,
Gyarmati Edit: Számelmélet (Tankönyvkiadó). |
[7] | Fuchs László:
Algebra (egyetemi jegyzet). |
[8] | Varga Tamás: Matematikai logika
kezdőknek I-II (Tankönyvkiadó). |
[9] | Rényi Alfréd:
Ars Mathematica (Magvető Könyvkiadó). |
[10] | Péter Rózsa:
Játék a végtelennel (Tankönyvkiadó). |
A gyakorlat kis csoportokban zajlik, az elméleti anyag megértésére szolgál önálló feladatmegoldás segítségével. A gyakorlatra kötelező járni, egy félévben legfeljebb három hiányzás megengedett. Ha háromnál több hiányzás van, az nem elégtelen gyakorlati jegyet jelent, hanem aláírásmegtagadást, ilyenkor tehát a gyakorlatot újra kell járni, és persze vizsgázni sem lehet. A gyakorlat előtt mindenki nézze át az előadás anyagát, és értse meg a fogalmakat és a tételeket.
Két évfolyamzárthelyit írunk, amelyek hat (esetleg hét) feladatot tartalmaznak, mindegyik 1 pontot ér. A zárthelyin csak egy maximum egy oldalas kézzel írott puska használható. A zárthelyi jegye a pontszám egészrésze, az átmenéshez mindkét zh-n legalább elégségest kell szerezni. Amennyiben mindkét zh-n legalább elégséges jegy született, a gyakorlati jegy minimum a két zh átlagának (alsó) egészrésze. Ennél jobbat órai munka, illetve esetlegesen beadott nehezebb (csillagos feladatok) alapján lehet kapni. Ezeket a feladatokat a félév során kell beadni, és NEM a két zh megírása után, amikor esetlegesen rájöttünk, hogy a gyakorlati jegy nem lesz olyan, mint amilyennek elképzeltük. A javító zh-knak (sok kollégámmal ellentétben, de sok más kollégámmal egyetértésben) nem vagyok híve, mert véleményem szerint a gyakorlati jegy az egész féléves teljesítményt kell tükrözze. Továbbá meggyőződésem, hogy a tananyagot leginkább óráról órára készülve, és nem a zh/vizsga előtt pár nappal lehet elsajátítani. Ennek megfelelően pót-zh-ra csak abban az esetben van lehetőség, ha valaki valamelyik zh-t nem írta meg, viszont egyébként (a zh-ról való hiányzással együtt) nem hiányzott 3-nál többet. A javító zh-t csak rendkívül indokolt esetben tartom elképzelhetőnek, ha valakinek az egyik zh-ja sokkal rosszabbul sikerült, mint a másik, és az órai jó teljesítménye ezt indokolja.
Azoknak, akik (elsőre) elégtelen gyakorlati jegyet szereztek, természetesen lehetőségük lesz egyszeri javítási lehetőségre gyakjegy-UV formájában.