FIGYELEM!!! A koronavírus miatt kialakult vészhelyzetre való tekintettel visszavonásig távoktatásra váltunk. További információk itt.
Néhány kapcsolódó jegyzet (főleg intenzíveseknek, de bárki másnak is, akit érdekel):
A Cayley-Hamilton tétel és a diagonalizálhatóság jellemzése a minimálpolinommal.
Kézzel írott szkennelt Algebra2 (lineáris algebra) jegyzet.
A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.
1. előadás: február 14. Vektortéraxiomák (ismétlés). Az altér fogalma és jellemzése a műveletekre való zártság segítségével. A generált altér mint adott elemeket tartalmazó legszűkebb altér; generátorrendszer. A generált altér elemeinek jellemzése: lineáris kombináció.
Véges és végtelen vektorrendszer lineáris függetlensége. A lineáris függés és függetlenség kapcsolata. A függés tranzitivitása, a kicserélési tétel. Független rendszer elemszáma legfeljebb akkora lehet, mint egy generátorrendszeré. A bázis fogalma, elemszámának egyértelműsége, dimenzió.
2. előadás: február 21. Alterek összege vektortérben, dimenziójuk. Vektorterek (belső) direkt összege. Direkt kiegészítő létezése.
Lineáris leképezések. Kép, mag, dimenziótétel. Mellékosztályok, faktortér. Izomorfizmus, két végesdimenziós vektortér pontosan akkor izomorf, ha ugyanannyi a dimenziójuk. Homomorfizmustétel. \(\mathrm{Hom}(V,W)\) mint vektortér. Duális tér, \(V^{**}\) természetesen izomorf \(V\)-vel, az izomorfizmus nem függ a bázis választásától.
3. előadás: február 28. Leképezés mátrixa, \(\mathrm{Hom}(V,W)\) azonosítása az \(n\)-szer \(k\)-as mátrixokkal. Szorzat a kompozíció, mátrixszorzás asszociativitásának új bizonyítása. Áttérés más bázisra.
Egy lineáris transzformáció, illetve négyzetes mátrix diagonalizálhatósága, invariáns alterei, sajátértékei, sajátvektorai, sajátalterei, karakterisztikus polinomja, ennek gyökei a sajátértékek. Algebrai és geometriai multiplicitás, kapcsolatuk. A sajátalterek összege direkt összeg, különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetlenek. Következmény: ha annyi különböző sajátérték van, mint a tér dimenziója, akkor a transzformáció diagonalizálható.
4. előadás: március 6. Egységelemes algebra egy elemének polinomja. Algebrai és transzcendens elemek. Egy \(b\) elem minimálpolinomja, mint azon polinomokból álló ideál normált generátoreleme, melyeknek \(b\) gyöke. A minimálpolinom egyértelmű, ez a legalacsonyabb fokú polinom, aminek \(b\) gyöke, egy polinomnak \(b\) akkor és csak akkor gyöke, ha ez a polinom a minimálpolinomnak többszöröse. Felső becslés a minimálpolinom fokára. Lineáris transzformáció minimálpolinomjának foka legfeljebb a dimenzió négyzete. A Cayley-Hamilton-tétel: minden mátrix illetve transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának.
A sajátértékek gyökei a minimálpolinomnak. A Cayley-Hamilton-tétel következményei: a minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak, és így a foka legfeljebb a dimenzió; a minimálpolinom gyökei pontosan a sajátértékek. A tér direkt összegre való felbontása a minimálpolinom segítségével.
5. előadás: március 13. Egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a minimálpolinomja lineáris tényezőkre bomlik, és minden gyöke egyszeres. Egy transzformáció akkor és csak akkor nilpotens, ha mátrixa alkalmas bázisban szigorú felsőháromszög-mátrix. Hasonló mátrixok, minden komplex elemű mátrix hasonló egy felső háronszögmátrixhoz. Nilpotens transzformációk normálalakja. A Jordan-normálalak, egyértelműség. A Jordan-normálalak hatványozása.
6. előadás: március 20. Duális bázis. Bilineáris függvények, mint \(V\to V^*\) leképezések, mátrixuk, a kapcsolat bijektív. A bázistranszformáció képlete. Szimmetrikus bilineáris függvény. Kvadratikus alak, ha \(\mathrm{char}(K)\neq 2\), akkor minden kvadratikus alak egyértelműen kapható egy szimmetrikus bilineáris függvényből. A bázistranszformáció képlete. Szimmetrikus bilineáris függvény. Kvadratikus alak, valós felett minden kvadratikus alak egyértelműen kapható egy szimmetrikus bilineáris függvényből, de \(\mathbb{F}_2\) felett nem. Alternáló bilineáris függvények, \(\mathrm{char}(K)\neq 2\) esetén minden bilineáris függvény egyértelműen előáll egy szimmetrikus és egy alternáló összegeként. Szimmetrikus bilineáris függvény mátrixa alkalmas bázisban diagonális. Sylvester tehetetlenségi tétele. Az \(\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{F}_p\) feletti nemelfajuló szimmetrikus bilineáris függvények száma rendre \(n+1,\infty,2\).
Első évfolyamzárthelyi az 1-6. gyakorlat anyagából: március 27. (péntek, 11-12:55, az előadás helyén és idejében)
7. előadás: április 3. A kvadratikus alak karaktere. A definitség és a főminorok.
Komplex bilineáris függvény, itt a kvadratikus alak egyértelműen meghatározza a bilineáris függvényt. A kvadratikus alak akkor és csak akkor valós, ha a függvény Hermite-féle. Ortogonalizáció, tehetetlenségi tétel mint valósban.
Valós és komplex Euklideszi tér, ortonormált bázis, a skaláris szorzat képlete. Ortogonalizáció, direkt kiegészítő altér. A Cauchy-Bunyakovszkij-Schwartz egyenlőtlenség. A háromszög-egyenlőtlenség (gyakorlaton).
8. előadás: április 17. Vektor koordinátáinak, transzformáció mátrixának felírása ortonormált bázisban a skaláris szorzat segítségével. Az adjungált transzformáció, jellemzése skaláris szorzattal.
Ha a W altér \(A\)-invariáns, akkor az ortogonális kiegészítő altere \(A^*\)-invariáns. Komplex felett egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható ortonormált bázisban, ha normális, azaz felcserélhető az adjungáltjával. Normális transzformáció sajátalterei páronként merőlegesek, ezek egyben az adjungált transzformáció sajátalterei is, konjugált sajátértékekkel. Önadjungált, szimmetrikus, unitér és ortogonális transzformációk. Unitér (ortogonális) transzformáció sajátértékei egy abszolút értékűek, önadjungált (szimmetrikus) transzformáció sajátértékei valósak. Egy transzformáció akkor és csak akkor unitér (ortogonális), ha skalárszorzat-tartó, illetve ha távolságtartó, illetve ha ortonormált bázist ortonormált bázisba visz.
Bilineáris függvényhez tartozó lineáris leképezés. Az A transzformáció akkor és csak akkor önadjungált (szimmetrikus), ha a hozzá tartozó bilineáris függvény Hermite-féle (szimmetrikus). Ha a bázistranszformációt ortonormált bázisok között végezzük, akkor a mátrixa unitér (ortogonális). Következmények: egy mátrix akkor és csak akkor diagonalizálható unitér transzformációval, ha normális; minden Hermitikus/szimmetrikus bilineáris függvény alkalmas ortonormált bázisban diagonalizálható.
Főtengelytétel: egy valós feletti transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható ortonormált bázisban, ha szimmetrikus. Egy valós feletti transzformáció akkor és csak akkor ortogonális, ha alkalmas ortonormált bázisban a mátrixa forgatásokat tartalmazó kétszer kettes, illetve \(+1\)-et vagy \(-1\)-et tartalmazó egyszer egyes diagonális blokkokra bomlik.
9. előadás: április 24. Kvaterniók ferdeteste, Frobenius tétele az \(\mathbb{R}\) feletti végesdimenziós algebrákról.
Második évfolyamzárthelyi a 7-12. gyakorlat anyagából: május 15. (péntek, 11-12:55, az előadás helyén és idejében)
| [1] | Freud Róbert:
Lineáris Algebra (ELTE kiadó). |
|---|---|
| [2] | Fagyejev-Szominszkij:
Felsőfokú algebrai feladatok (TypoTeX kiadó, 2000). |
| [3] | Kiss Emil:
Bevezetés az algebrába (TypoTeX kiadó, 2007) |
| [4] | Szendrei-Czédli-Szendrei:
Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó). |
| [5] | Fried Ervin:
Algebra I-II (Tankönyvkiadó). |
|---|---|
| [6] | Freud Róbert,
Gyarmati Edit: Számelmélet (Tankönyvkiadó). |
| [7] | Fuchs László:
Algebra (egyetemi jegyzet). |
| [8] | Varga Tamás: Matematikai logika
kezdőknek I-II (Tankönyvkiadó). |
| [9] | Rényi Alfréd:
Ars Mathematica (Magvető Könyvkiadó). |
| [10] | Péter Rózsa:
Játék a végtelennel (Tankönyvkiadó). |