A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.
1. előadás: február 11. Vektortéraxiomák (ismétlés). Az altér fogalma és jellemzése a műveletekre való zártság segítségével. A generált altér mint adott elemeket tartalmazó legszűkebb altér; generátorrendszer. A generált altér elemeinek jellemzése: lineáris kombináció.
Véges és végtelen vektorrendszer lineáris függetlensége. A lineáris függés és függetlenség kapcsolata. A függés tranzitivitása, a kicserélési tétel. Független rendszer elemszáma legfeljebb akkora lehet, mint egy generátorrendszeré. A bázis fogalma, elemszámának egyértelműsége, dimenzió.
Végtelen dimenziós vektorterek. Zorn-Lemma. (NB) Minden vektortérnek van bázisa. Sőt, független rendszer kiegészíthető bázissá, generátorrendszerből kiválasztható bázis.
A február 18-ai előadás elmarad (külföldön leszek). Helyette a 19-ei szerdai gyakorlaton előadás lesz. A két zh-t külön, pénteki időpontban írjuk, ennek fejében az utolsó héten ugyancsak elmarad az előadás.
2. előadás: február 19 (szerda, a gyakorlat helyén és idejében). Alterek összege vektortérben, dimenziójuk. Vektorterek (belső) direkt összege. Direkt kiegészítő létezése. Véges és végtelen sok vektortér (külső) direkt összege és direkt szorzata.
Lineáris leképezések. Kép, mag, dimenziótétel. Mellékosztályok, faktortér. Izomorfizmus, két végesdimenziós vektortér pontosan akkor izomorf, ha ugyanannyi a dimenziójuk. Homomorfizmustétel. \mathrm{Hom}(V,W) mint vektortér. Duális tér, V^{**} természetesen izomorf V-vel, az izomorfizmus nem függ a bázis választásától.
3. előadás: február 25. Leképezés mátrixa, \mathrm{Hom}(V,W) azonosítása az n-szer k-as mátrixokkal. Szorzat a kompozíció, mátrixszorzás asszociativitásának új bizonyítása. Áttérés más bázisra.
Egy lineáris transzformáció, illetve négyzetes mátrix diagonalizálhatósága, invariáns alterei, sajátértékei, sajátvektorai, sajátalterei, karakterisztikus polinomja, ennek gyökei a sajátértékek. Algebrai és geometriai multiplicitás, kapcsolatuk. A sajátalterek összege direkt összeg, különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetlenek. Következmény: ha annyi különböző sajátérték van, mint a tér dimenziója, akkor a transzformáció diagonalizálható.
4. előadás: március 4. Egységelemes algebra egy elemének polinomja. Algebrai és transzcendens elemek. Egy b elem minimálpolinomja, mint azon polinomokból álló ideál normált generátoreleme, melyeknek b gyöke. A minimálpolinom egyértelmű, ez a legalacsonyabb fokú polinom, aminek b gyöke, egy polinomnak b akkor és csak akkor gyöke, ha ez a polinom a minimálpolinomnak többszöröse. Felső becslés a minimálpolinom fokára. Lineáris transzformáció minimálpolinomjának foka legfeljebb a dimenzió négyzete. A Cayley-Hamilton-tétel: minden mátrix illetve transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának.
A sajátértékek gyökei a minimálpolinomnak. A Cayley-Hamilton-tétel következményei: a minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak, és így a foka legfeljebb a dimenzió; a minimálpolinom gyökei pontosan a sajátértékek. A tér direkt összegre való felbontása a minimálpolinom segítségével.
5. előadás: március 11. Egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a minimálpolinomja lineáris tényezőkre bomlik, és minden gyöke egyszeres. Egy transzformáció akkor és csak akkor nilpotens, ha mátrixa alkalmas bázisban szigorú felsőháromszög-mátrix. Hasonló mátrixok, minden komplex elemű mátrix hasonló egy felső háronszögmátrixhoz. Nilpotens transzformációk normálalakja. A Jordan-normálalak, egyértelműség. A Jordan-normálalak hatványozása.
6. előadás: március 18. Duális bázis. Bilineáris függvények, mint V\to V^* leképezések, mátrixuk, a kapcsolat bijektív. A bázistranszformáció képlete. Szimmetrikus bilineáris függvény. Kvadratikus alak, ha \mathrm{char}(K)\neq 2, akkor minden kvadratikus alak egyértelműen kapható egy szimmetrikus bilineáris függvényből. A bázistranszformáció képlete. Szimmetrikus bilineáris függvény. Kvadratikus alak, valós felett minden kvadratikus alak egyértelműen kapható egy szimmetrikus bilineáris függvényből, de \mathbb{F}_2 felett nem. Alternáló bilineáris függvények, \mathrm{char}(K)\neq 2 esetén minden bilineáris függvény egyértelműen előáll egy szimmetrikus és egy alternáló összegeként. Szimmetrikus bilineáris függvény mátrixa alkalmas bázisban diagonális. Sylvester tehetetlenségi tétele. Az \mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{F}_p feletti nemelfajuló szimmetrikus bilineáris függvények száma rendre n+1,\infty,2. (A linkelt jegyzet Pelikán tanár úr jegyzete még 2000-ből. Természetesen csak azokat fogom kérni belőle, amiket elmondtam előadáson.)
7. előadás: március 25. A kvadratikus alak karaktere. A definitség és a főminorok.
Komplex bilineáris függvény, itt a kvadratikus alak egyértelműen meghatározza a bilineáris függvényt. A kvadratikus alak akkor és csak akkor valós, ha a függvény Hermite-féle. Ortogonalizáció, tehetetlenségi tétel mint valósban.
Valós és komplex Euklideszi tér, ortonormált bázis, a skaláris szorzat képlete. Ortogonalizáció, direkt kiegészítő altér. A Cauchy-Bunyakovszkij-Schwartz egyenlőtlenség. A háromszög-egyenlőtlenség. Vektor koordinátáinak, transzformáció mátrixának felírása ortonormált bázisban a skaláris szorzat segítségével.
Az adjungált transzformáció, jellemzése skaláris szorzattal.
Első évfolyamzárthelyi az 1-6. előadások anyagából: március 28. (péntek) D-1-820-as terem, 16:00-18:00 (120 perc!)
8. előadás: április 1. Ha a W altér A-invariáns, akkor az ortogonális kiegészítő altere A^*-invariáns. Komplex felett egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható ortonormált bázisban, ha normális, azaz felcserélhető az adjungáltjával. Normális transzformáció sajátalterei páronként merőlegesek, ezek egyben az adjungált transzformáció sajátalterei is, konjugált sajátértékekkel. Önadjungált, szimmetrikus, unitér és ortogonális transzformációk. Unitér (ortogonális) transzformáció sajátértékei egy abszolút értékűek, önadjungált (szimmetrikus) transzformáció sajátértékei valósak. Egy transzformáció akkor és csak akkor unitér (ortogonális), ha skalárszorzat-tartó, illetve ha távolságtartó, illetve ha ortonormált bázist ortonormált bázisba visz.
Bilineáris függvényhez tartozó lineáris leképezés. Az A transzformáció akkor és csak akkor önadjungált (szimmetrikus), ha a hozzá tartozó bilineáris függvény Hermite-féle (szimmetrikus). Ha a bázistranszformációt ortonormált bázisok között végezzük, akkor a mátrixa unitér (ortogonális). Következmények: egy mátrix akkor és csak akkor diagonalizálható unitér transzformációval, ha normális; minden Hermitikus/szimmetrikus bilineáris függvény alkalmas ortonormált bázisban diagonalizálható.
Főtengelytétel: egy valós feletti transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható ortonormált bázisban, ha szimmetrikus. Egy valós feletti transzformáció akkor és csak akkor ortogonális, ha alkalmas ortonormált bázisban a mátrixa forgatásokat tartalmazó kétszer kettes, illetve +1-et vagy -1-et tartalmazó egyszer egyes diagonális blokkokra bomlik.
9. előadás: április 8. Kvaterniók ferdeteste, Frobenius tétele az \mathbb{R} feletti végesdimenziós algebrákról.
10. előadás: április 15. Értékelések. Ostrowski tétele a racionális számokon értelmezett értékelésekről. Teljesség, telítés Cauchy-sorozatok ekvivalenciaosztályaival. A p-adikus számok teste. Vigyázat! A linkelt jegyzetben több van, mint amit elmondtam órán. Sőt, vannak bizonyítások is a jegyzetben, melyek eltérnek az órán elhangzottól. Természetesen a vizsgán csak azt kell tudni, ami az órán elhangzott (tetszés szerinti bizonyítással).
11. előadás: április 29. Kvaternióalgebrák. Kapcsolat a kvadratikus alakokkal. Witt egyszerűsítési tétele kvadratikus alakokra.
12. előadás: május 6. Bilineáris (és multilineáris) leképezések klasszifikálása a tenzorszorzaton keresztül. A tenzorszorzat, mint a bilineáris függvények vektorterének duálistere. A tenzorszorzat dimenziója. Nem kell a vizsgára: Szimmetrikus és külső hatvány, kapcsolat a determinánssal.
A két zh fejében elmarad a május 13-ai előadás. A május 14-ei gyakorlat viszont meg lesz tartva.
Második évfolyamzárthelyi a 7-12. előadások anyagából: május 16. (péntek), 16:00-18:00 (120 perc!), D-1-820-as terem
A vizsga szóbeli lesz, célja annak megállapítása, hogy a vizsgázó érti-e az anyagot (ilyesfajta kérdések szerepelhetnek: adjunk példát arra, amikor egy tétel alkalmazható, vagy egy definíció teljesül, szükséges-e egy állítás adott feltétele (ha nem, ellenpéldát kell adni), alkalmazható-e egy definíció egy adott szituációban, alkalmazzunk egy tanult módszert egy konkrét helyzetben). A gyakorlatok (és a konzultációk) segítenek a vizsgára való felkészülésben is.
A vizsgán mindenki egy tételpárt húz. Ezek egyike egy bizonyítás ismertetése, a másik néhány tételt felölelő téma, ahol a definíciókat, az eredmények összefüggéseit kell elmondani (de a bizonyításokba itt is belekérdezhet a vizsgáztató). Az átmenéshez mindkét tételt legalább elégséges szinten tudni kell.
| [1] | Freud Róbert:
Lineáris Algebra (ELTE kiadó). |
|---|---|
| [2] | Fagyejev-Szominszkij:
Felsőfokú algebrai feladatok (TypoTeX kiadó, 2000). |
| [3] | Kiss Emil:
Bevezetés az algebrába (TypoTeX kiadó, 2007) |
| [4] | Szendrei-Czédli-Szendrei:
Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó). |
| [5] | Fried Ervin:
Algebra I-II (Tankönyvkiadó). |
|---|---|
| [6] | Freud Róbert,
Gyarmati Edit: Számelmélet (Tankönyvkiadó). |
| [7] | Fuchs László:
Algebra (egyetemi jegyzet). |
| [8] | Varga Tamás: Matematikai logika
kezdőknek I-II (Tankönyvkiadó). |
| [9] | Rényi Alfréd:
Ars Mathematica (Magvető Könyvkiadó). |
| [10] | Péter Rózsa:
Játék a végtelennel (Tankönyvkiadó). |
A gyakorlat kis csoportokban zajlik, az elméleti anyag megértésére szolgál önálló feladatmegoldás segítségével. A gyakorlatra kötelező járni, egy félévben legfeljebb három hiányzás megengedett. Ha háromnál több hiányzás van, az nem elégtelen gyakorlati jegyet jelent, hanem aláírásmegtagadást, ilyenkor tehát a gyakorlatot újra kell járni, és persze vizsgázni sem lehet. A gyakorlat előtt mindenki nézze át az előadás anyagát, és értse meg a fogalmakat és a tételeket.
Két évfolyamzárthelyit írunk, amelyek hat (esetleg hét) feladatot tartalmaznak, mindegyik 1 pontot ér. A zárthelyin csak egy maximum egy oldalas kézzel írott puska használható. A zárthelyi jegye a pontszám egészrésze, az átmenéshez mindkét zh-n legalább elégségest kell szerezni. Amennyiben mindkét zh-n legalább elégséges jegy született, a gyakorlati jegy minimum a két zh átlagának (alsó) egészrésze. Ennél jobbat órai munka, illetve esetlegesen beadott nehezebb (csillagos feladatok) alapján lehet kapni. Ezeket a feladatokat a félév során kell beadni, és NEM a két zh megírása után, amikor esetlegesen rájöttünk, hogy a gyakorlati jegy nem lesz olyan, mint amilyennek elképzeltük. A javító zh-knak (sok kollégámmal ellentétben, de sok más kollégámmal egyetértésben) nem vagyok híve, mert véleményem szerint a gyakorlati jegy az egész féléves teljesítményt kell tükrözze. Továbbá meggyőződésem, hogy a tananyagot leginkább óráról órára készülve, és nem a zh/vizsga előtt pár nappal lehet elsajátítani. Ennek megfelelően pót-zh-ra csak abban az esetben van lehetőség, ha valaki valamelyik zh-t nem írta meg, viszont egyébként (a zh-ról való hiányzással együtt) nem hiányzott 3-nál többet. A javító zh-t csak rendkívül indokolt esetben tartom elképzelhetőnek, ha valakinek az egyik zh-ja sokkal rosszabbul sikerült, mint a másik, és az órai jó teljesítménye ezt indokolja.
Azoknak, akik (elsőre) elégtelen gyakorlati jegyet szereztek, természetesen lehetőségük lesz egyszeri javítási lehetőségre gyakjegy-UV formájában.