Algebra 2 intenzív


Az előadás
Az egyes előadások tartalma (tematika)
A vizsga
Ajánlott irodalom
A gyakorlat
Feladatsorok

Az előadás (Csütörtök 8-10)


Az algebra kurzusok során először klasszikus, majd lineáris, végül absztrakt algebrát tanulunk. Az oktatás célja egyfajta gondolkodásmód és az algebrai módszerek bemutatása, a feladatmegoldási készség fejlesztése. Emelt szinten feltételezzük, hogy ez részben már megtörtént középiskolában, a Középiskolai Matematikai Lapok és középiskolás versenyfeladatok segítségével.

A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.

Az egyes előadások tartalma

Ebben a félévben főként lineáris algebráról, majd csoportelméletről lesz szó. Az alábbi tematika egyben vizsgatematika is. Az NB jelentése: a bizonyítás nem szerepelt, nem kell tudni a vizsgán.

1. előadás: február 16. Egy lineáris transzformáció, illetve négyzetes mátrix diagonalizálhatósága, invariáns alterei, sajátértékei, sajátvektorai, sajátalterei, karakterisztikus polinomja, ennek gyökei a sajátértékek. Algebrai és geometriai multiplicitás, kapcsolatuk. A sajátalterek összege direkt összeg, különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetlenek. Következmény: ha annyi különböző sajátérték van, mint a tér dimenziója, akkor a transzformáció diagonalizálható.

Egységelemes algebra egy elemének polinomja. Algebrai és transzcendens elemek. Egy b elem minimálpolinomja, mint azon polinomokból álló ideál normált generátoreleme, melyeknek b gyöke. A minimálpolinom egyértelmű, ez a legalacsonyabb fokú polinom, aminek b gyöke, egy polinomnak b akkor és csak akkor gyöke, ha ez a polinom a minimálpolinomnak többszöröse. Felső becslés a minimálpolinom fokára. Lineáris transzformáció minimálpolinomjának foka legfeljebb a dimenzió négyzete. A Cayley-Hamilton-tétel: minden mátrix illetve transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának.

2. előadás: február 23. A sajátértékek gyökei a minimálpolinomnak. A Cayley-Hamilton-tétel következményei: a minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak, és így a foka legfeljebb a dimenzió; a minimálpolinom gyökei pontosan a sajátértékek. A tér direkt összegre való felbontása a minimálpolinom segítségével. Egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a minimálpolinomja lineáris tényezőkre bomlik, és minden gyöke egyszeres. Egy transzformáció akkor és csak akkor nilpotens, ha mátrixa alkalmas bázisban szigorú felsőháromszög-mátrix. Hasonló mátrixok, minden komplex elemű mátrix hasonló egy felső háronszögmátrixhoz. Nilpotens transzformációk normálalakja.

3. előadás: március 1. A Jordan-normálalak, egyértelműség. A Jordan-normálalak hatványozása. Duális bázis. Bilineáris függvények, mint V->V^* leképezések, mátrixuk, a kapcsolat bijektív. A bázistranszformáció képlete. Szimmetrikus bilineáris függvény. Kvadratikus alak, ha char(K) nem 2, akkor minden kvadratikus alak egyértelműen kapható egy szimmetrikus bilineáris függvényből. A bázistranszformáció képlete. Szimmetrikus bilineáris függvény. Kvadratikus alak, valós felett minden kvadratikus alak egyértelműen kapható egy szimmetrikus bilineáris függvényből, de F2 felett nem. Alternáló bilineáris függvények, char(K) nem 2 esetén minden bilineáris függvény egyértelműen előáll egy szimmetrikus és egy alternáló összegeként. Szimmetrikus bilineáris függvény mátrixa alkalmas bázisban diagonális.

4. előadás: március 8. Sylvester tehetetlenségi tétele. A kvadratikus alak karaktere. A definitség és a főminorok. Komplex bilineáris függvény, itt a kvadratikus alak egyértelműen meghatározza a bilineáris függvényt. A kvadratikus alak akkor és csak akkor valós, ha a függvény Hermite-féle. Ortogonalizáció, tehetetlenségi tétel mint valósban. Valós és komplex Euklideszi tér, ortonormált bázis, a skaláris szorzat képlete. Ortogonalizáció, direkt kiegészítő altér. A Cauchy-Bunyakovszkij-Schwartz egyenlőtlenség.

5. előadás: március 22. A háromszög-egyenlőtlenség. Vektor koordinátáinak, transzformáció mátrixának felírása ortonormált bázisban a skaláris szorzat segítségével. Az adjungált transzformáció, jellemzése skaláris szorzattal.

Ha a W altér A-invariáns, akkor az ortogonális kiegészítő altere A*-invariáns. Komplex felett egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható ortonormált bázisban, ha normális, azaz felcserélhető az adjungáltjával. Normális transzformáció sajátalterei páronként merőlegesek, ezek egyben az adjungált transzformáció sajátalterei is, konjugált sajátértékekkel. Önadjungált, szimmetrikus, unitér és ortogonális transzformációk. Unitér (ortogonális) transzformáció sajátértékei egy abszolút értékűek, önadjungált (szimmetrikus) transzformáció sajátértékei valósak. Egy transzformáció akkor és csak akkor unitér (ortogonális), ha skalárszorzat-tartó, illetve ha távolságtartó, illetve ha ortonormált bázist ortonormált bázisba visz.

Bilineáris függvényhez tartozó lineáris leképezés. Az A transzformáció akkor és csak akkor önadjungált (szimmetrikus), ha a hozzá tartozó bilineáris függvény Hermite-féle (szimmetrikus). Ha a bázistranszformációt ortonormált bázisok között végezzük, akkor a mátrixa unitér (ortogonális). Következmények: egy mátrix akkor és csak akkor diagonalizálható unitér transzformációval, ha normális; minden Hermitikus/szimmetrikus bilineáris függvény alkalmas ortonormált bázisban diagonalizálható.

Főtengelytétel: egy valós feletti transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható ortonormált bázisban, ha szimmetrikus. Egy valós feletti transzformáció akkor és csak akkor ortogonális, ha alkalmas ortonormált bázisban a mátrixa forgatásokat tartalmazó kétszer kettes, illetve +1-et vagy -1-et tartalmazó egyszer egyes diagonális blokkokra bomlik.

6. előadás: március 29. Példák csoportokra: gyűrű additív, ill. multiplikatív csoportja; ciklikus csoportok; diéder csoport; kvaterniócsoport; Klein-féle négyes csoport; permutációcsoportok (Cayley tétele, miszerint minden csoport permutációcsoport); mátrixcsoportok. Homomorfizmus képe és magja, normálosztó. Komplexusszorzás, faktorcsoport, természetes homomorfizmus. Kettő indexű részcsoport normálosztó (gyakorlaton). A konjugálás, mint automorfizmus. Csoport hatása önmagán konjugálással, konjugáltosztályok. Egy részcsoport akkor és csak akkor normálosztó, ha konjugáltosztályok egyesítése. A centrum. Permutációcsoport, csoport hatása halmazon. Fok, pálya, stabilizátor, összefüggésük, tranzitivitás. A pályák partíciót alkotnak. A kocka szimmetriáinak a száma.

Első évfolyamzárthelyi az 1-5. előadások anyagából: március 30. (péntek), 14:00


7. előadás: április 12. Homomorfizmustétel. A faktorcsoport részcsoportjai és normálosztói, az izomorfizmus-tételek. A direkt szorzat fogalma és belső jellemzése véges sok tényező esetén. Teljes és diszkrét direkt szorzat. A véges Abel-csoportok alaptétele, egyértelműség. Aut(Z_p^n). Cauchy tétele p rendű elem létezéséről.

8. előadás: április 19. Egy csoport hatása a részcsoportjainak halmazán konjugálással. Részcsoport normalizátora, ennek indexe a részcsoport konjugáltjainak a száma. A H normalizátora a legnagyobb részcsoport, amiben H normálosztó. A centralizátor N_G(H)/C_G(H) természetes módon részcsoportja Aut(H)-nak.

Kettős mellékosztályok. A p-Sylow-részcsoport fogalma, a Sylow-tételek. A p-Sylow részcsoportok száma, ez osztója az indexének. Egy p-Sylow részcsoport akkor és csak akkor normálosztó, ha csak egy van belőle. Következmény: pq rendű csoport nem lehet egyszerű.

Csoport hatása normálosztón konjugálással, szemidirekt szorzat. A ciklikus csoportok automorfizmus-csoportja (GY). Nemkommutatív pq rendű csoport konstrukciója alkalmas p és q esetén. Példák szemidirekt szorzatra.

április 26.: A két zh fejében elmarad az előadás és a gyakorlat (külföldön leszek).

9. előadás: május 3. Normállánc, kompozíciólánc. Jordan-Hölder-tétel. Feloldható csoportok. Egy csoport kommutátorrészcsoportja, ez a legnagyobb Abel-féle homomorf kép, univerzális tulajdonság. A feloldhatóság jellemzése a kommutátorlánc segítségével. A kommutátorlánc elemei karakterisztikus részcsoportok. Prímhatvány rendű csoport feloldható.

május 10.: Eötvös nap

10. előadás: május 17. Egyszerű csoportok, An egyszerű, ha n>4.

Szabad csoport. Minden csoport előáll egy szabad csoport faktorcsoportjaként. Csoport megadása generátorokkal és definiáló relációkkal. Dyck tétele. A Nielsen-Schreier tétel (NB).

Második évfolyamzárthelyi a 6-9. előadások anyagából: május 18. (péntek), 14:00, Északi tömb, 0.79

A vizsga

A vizsga szóbeli lesz, célja annak megállapítása, hogy a vizsgázó érti-e az anyagot (ilyesfajta kérdések szerepelhetnek: adjunk példát arra, amikor egy tétel alkalmazható, vagy egy definíció teljesül, szükséges-e egy állítás adott feltétele (ha nem, ellenpéldát kell adni), alkalmazható-e egy definíció egy adott szituációban, alkalmazzunk egy tanult módszert egy konkrét helyzetben). A gyakorlatok (és a konzultációk) segítenek a vizsgára való felkészülésben is.

A vizsgán mindenki egy tételpárt húz. Ezek egyike egy bizonyítás ismertetése, a másik néhány tételt felölelő téma, ahol a definíciókat, az eredmények összefüggéseit kell elmondani (de a bizonyításokba itt is belekérdezhet a vizsgáztató). Az átmenéshez mindkét tételt legalább elégséges szinten tudni kell.

Elsődlegesen ajánlott irodalom

A két fő tankönyv lineáris algebrából az [1], az anyag többi részéből a [3]. Ezek mindegyike feladatgyűjtemény is egyben. A [2] és [4] kiegészítő feladatgyűjtemények.
[1] Freud Róbert: Lineáris Algebra (ELTE kiadó).
[2] Fagyejev-Szominszkij: Felsőfokú algebrai feladatok (TypoTeX kiadó, 2000).
[3] Kiss Emil: Bevezetés az algebrába (TypoTeX kiadó, 2007)
[4] Szendrei-Czédli-Szendrei: Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó).

További ajánlott irodalom

Számelméleti ismeretekre állandóan szükség van, ezek a [6] könyvből tanulhatók meg. A logikai készségek gyakorlásához és tudatosításához a [8] könyv nyújt segítséget. A [9], [10] könyvek a matematikáról szólnak mindenkinek (még a laikus barátoknak is).
[5] Fried Ervin: Algebra I-II (Tankönyvkiadó).
[6] Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet (Tankönyvkiadó).
[7] Fuchs László: Algebra (egyetemi jegyzet).
[8] Varga Tamás: Matematikai logika kezdőknek I-II (Tankönyvkiadó).
[9] Rényi Alfréd: Ars Mathematica (Magvető Könyvkiadó).
[10] Péter Rózsa: Játék a végtelennel (Tankönyvkiadó).

A gyakorlat:

(Csütörtök 14-16)

A gyakorlat kis csoportokban zajlik, az elméleti anyag megértésére szolgál önálló feladatmegoldás segítségével. A gyakorlatra kötelező járni, egy félévben legfeljebb három hiányzás megengedett. Ha háromnál több hiányzás van, az nem elégtelen gyakorlati jegyet jelent, hanem aláírásmegtagadást, ilyenkor tehát a gyakorlatot újra kell járni, és persze vizsgázni sem lehet. A gyakorlat előtt mindenki nézze át az előadás anyagát, és értse meg a fogalmakat és a tételeket.

Két évfolyamzárthelyit írunk, amelyek hat (esetleg hét) feladatot tartalmaznak, mindegyik 1 pontot ér. A zárthelyin csak egy maximum egy oldalas kézzel írott puska használható. A zárthelyi jegye a pontszám egészrésze, az átmenéshez mindkét zh-n legalább elégségest kell szerezni. Amennyiben mindkét zh-n legalább elégséges jegy született, a gyakorlati jegy minimum a két zh átlagának (alsó) egészrésze. Ennél jobbat órai munka, illetve esetlegesen beadott nehezebb (csillagos feladatok) alapján lehet kapni. Ezeket a feladatokat a félév során kell beadni, és NEM a két zh megírása után, amikor esetlegesen rájöttünk, hogy a gyakorlati jegy nem lesz olyan, mint amilyennek elképzeltük. A javító zh-knak (sok kollégámmal ellentétben, de sok más kollégámmal egyetértésben) nem vagyok híve, mert véleményem szerint a gyakorlati jegy az egész féléves teljesítményt kell tükrözze. Továbbá meggyőződésem, hogy a tananyagot leginkább óráról órára készülve, és nem a zh/vizsga előtt pár nappal lehet elsajátítani. Ennek megfelelően pót-zh-ra csak abban az esetben van lehetőség, ha valaki valamelyik zh-t nem írta meg, viszont egyébként (a zh-ról való hiányzással együtt) nem hiányzott 3-nál többet. A javító zh-t csak rendkívül indokolt esetben tartom elképzelhetőnek, ha valakinek az egyik zh-ja sokkal rosszabbul sikerült, mint a másik, és az órai jó teljesítménye ezt indokolja.

Azoknak, akik (elsőre) elégtelen gyakorlati jegyet szereztek, természetesen lehetőségük lesz egyszeri javítási lehetőségre gyakjegy-UV formájában.

Feladatsorok


1. Gyakorlat (Február 16.)
2. Gyakorlat (Február 23.)
3. Gyakorlat (Március 1.)
4. Gyakorlat (Március 8.)
5. Gyakorlat (Március 22.)
6. Gyakorlat (Március 29.)

1. ZH (Március 30.) megoldások

7. Gyakorlat (Április 12.)

8. Gyakorlat (Április 19.)

9. Gyakorlat (Május 3.)

Vissza