A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.
Első évfolyamzárthelyi:
Időpont: 2021. okt. 19, 08:00.
Helyszín: Az előadás helyszínén, D-0-805.
Mindenkinél legyen 6-7 üres papírlap! Használni semmit nem lehet, kalkulátort sem.
Második évfolyamzárthelyi:
Időpont: 2021. dec. 7, 08:00.
Helyszín: Az előadás helyszínén, D-0-805.
Mindenkinél legyen 6-7 üres papírlap! Használni semmit nem lehet, kalkulátort sem.
Javító zárthelyi:
Időpont: 2021. dec. 14, 08:30-10:30.
Helyszín: online.
Az előadás teams-csatornájában a ZH ideje alatt lesz egy értekezlet, amibe mindenkinek kötelező a belépés bekapcsolt kamerával!
Gyakorlati jegy utóvizsga
Időpont: 2021. dec. 16, 08:00-10:00.
Helyszín: online. A neptunban jelentkezni kell legkésőbb 24 órával a vizsga kezdete előtt.
Az előadás teams-csatornájában a ZH ideje alatt lesz egy értekezlet, amibe mindenkinek kötelező a belépés bekapcsolt kamerával!
Ennek a félévnek az anyagát lényegében lefedi a két lenti (ingyenesen elérhető) könyvből összesen az első három-három fejezet.
1. előadás: szeptember 7. Bevezetés. Polinomok (\(\mathbb{R}\) fölött). Polinomok egyenlősége, együtthatói, konstans tagja, foka, főegyütthatója, normált polinom, a nullapolinom. Polinomok összege, különbsége, szorzata, a szorzat együtthatói. Az összeg és a szorzat foka, nullosztómentesség.
Behelyettesítés polinomba. Gyök, a gyöktényező kiemelhetősége. A Horner elrendezés, és szerepe a gyöktényező kiemelésénél.
2. előadás: szeptember 14. Racionális gyökteszt. A különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezők egyszerre is kiemelhetők. A gyökök száma legfeljebb a polinom foka. A polinomok azonossági tétele (megjegyzés: csak a nullosztómentességet használtuk és hogy végtelen sok szám van!). A polinom és a polinomfüggvény fogalma közti különbség. A polinom formális deriváltja, \(k\)-szoros gyök fogalma, kapcsolatuk.
Nincs minden polinomnak valós gyöke, a komplex számok szükségessége, bevezetésük \(a+bi\) alakú formális kifejezésként. Valós és képzetes rész, egyértelműség. Összeadás, kivonás, szorzás. Asszociativitás, kommutativitás, disztributivitás, testaxiómák. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani. Konjugált, abszolút érték, kapcsolatuk, tulajdonságaik. Nullosztómentesség.
3. előadás: szeptember 21. A Gauss-féle számsík. A komplex számok összeadása a vektorösszeadásnak felel meg. Komplex szám hossza, szöge és trigonometrikus alakja. Szorzásnál a szögek összeadódnak, a hosszak összeszorzódnak. A háromszög-egyenlőtlenség. Elemi geometriai alkalmazások, mackósajtos feladat.
Komplex számok hatványozása. Gyökvonás komplex számból. A gyökök száma és elhelyezkedése. Az egységgyökök fogalma, száma, képlete. Nem nulla komplex szám rendje, mint a különböző hatványainak a száma, primitív egységgyökök.
Online előadás videója elérhető itt.
4. előadás: szeptember 28. Az algebra alaptétele (NB). A gyöktényezős alak. Az \(x^n-1\) polinom gyöktényezős alakja (gyakorlaton). Polinomok maradékos osztása, euklideszi algoritmus, a legnagyobb közös osztó felírása lineáris kombinációként (gyakorlaton).
A harmad- és negyedfokú egyenlet megoldási módszere, Cardano képlet. Casus irreduciblis, diszkusszió. A minimum 5-ödfokú egyenletre nincs gyökképlet (NB).
5. előadás: október 5. Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. Ha egyértelmű a megoldás, akkor az egyenletek száma legalább annyi, mint az ismeretlenek száma. Következmény: homogén egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása, ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen.
Az \(n\) magas (komplex) oszlopvektorok "tere", összeadás, skalárral szorzás. A mátrix általános fogalma, műveletek: összeadás, szorzás, skalárral szorzás, transzponált, műveleti tulajdonságok. Mátrix és vektor szorzata. Motiváció: lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja. Mátrixgyűrű test (illetve gyűrű) felett.
6. előadás: október 12. Hatványozás gyűrűben, azonosságok, gyűrűelem egész számszorosa. Nullosztó, minden test nullosztómentes. Művelettartó leképezés, lineáris leképezés. Gyűrűhomomorfizmus és izomorfizmus. A \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) gyűrű definíciója, ez pontosan akkor nullosztómentes ha test, és ez akkor igaz, ha \(n\) prímszám. Véges nullosztómentes gyűrű ferdetest. Ha egy kommutatív gyűrűben minden elem \(p\)-szerese nulla, akkor tagonként lehet \(p\)-edik hatványra emelni (\(p\) prím). Következmény: a kis Fermat-tétel.
Permutáció, inverziók, előjel.
október 19. az előadás helyén és idejében: Első évfolyamzárthelyi az 1-5. előadások anyagából
7. előadás: november 2. Az előjelek szorzástétele. A páros permutációk száma, a szimmetrikus és az alternáló csoport. Ciklusfelbontás (gyakorlaton). Előjeles mérték, a paralelepipedon térfogata. A determináns definíciójának egyértelműsége. A determináns alaptulajdonságai, kiszámítása Gauss-eliminációval.
A transzponált mátrix determinánsa. Következmény: az oszlopokra teljesülő tulajdonságok a sorokra is érvényesek. A determinánsok szorzástétele.
8. előadás: november 9. Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel. A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Következmény: négyzetes mátrixokra \(MN=E\) akkor és csak akkor, ha \(NM=E\). A Cramer-szabály és megfordítása. Vandermonde-determináns. Az inverz mátrix kiszámítása Gauss-eliminációval. Mátrix rangja (vezéregyesek száma Gauss-elimináció után), ez nem függ a Gauss-elimináció módjától. Összefüggés négyzetes mátrix rangja és determinánsa között.
A Lagrange-interpoláció.
9. előadás: november 16. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések (részben gyakorlaton). Egységelemes, kommutatív gyűrű feletti polinomgyűrű, a többhatározatlanú polinom rekurzív definíciója. Fok, homogén polinom, lexikografikus rendezés.
A szimmetrikus polinomok alaptétele, egyértelműség. Hatványösszegek, Newton-Girard-formulák.
Az irreducibilitás jellemzése test fölötti polinomokra. Összefüggés gyök létezése és az irreducibilitás között test fölötti első, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében. A racionális gyökteszt. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám és a konjugáltja ugyanannyiszoros gyöke. Következmény: páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. Az irreducibilis polinomok \(\mathbb{C}\) fölött pontosan az elsőfokúak. \(\mathbb{R}\) fölött egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú, vagy ha másodfokú, de nincs valós gyöke. Az egész együtthatós polinomok számelmélete.
10. előadás: november 23. A Schönemann-Eisenstein kritérium. Következmény: racionális fölött akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik.
Primitív polinom, Gauss-lemma, a \(\mathbb{Z}[x]\) irreducibiliseinek leírása. A körosztási polinom definíciója és rekurzív kiszámítása. A körosztási polinom egész együtthatós és irreducibilis. Alkalmazás: Dirichlet tételének \(nk+1\) esete.
11. előadás: november 30. Racionális együtthatós polinomok Newton-poligonja, ennek segítségével irreducibilitási kritérium.
A rezultáns. A diszkrimináns. Valós együtthatók esetén összefüggés a diszkrimináns előjele és a valós gyökök száma között.
december 7. , az előadás helyén és idejében: Második évfolyamzárthelyi a 6-10. előadások anyagából