Algebra 1 intenzív


Az előadás (Kedd 8:15-9:55, tíz perc szünettel, Északi tömb 1.71)


Az algebra kurzusok során először klasszikus, majd lineáris, végül absztrakt algebrát tanulunk. Az oktatás célja egyfajta gondolkodásmód és az algebrai módszerek bemutatása, a feladatmegoldási készség fejlesztése. Emelt szinten feltételezzük, hogy ez részben már megtörtént középiskolában, a Középiskolai Matematikai Lapok és középiskolás versenyfeladatok segítségével.

A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.

Ajánlott irodalom

Ennek a félévnek az anyagát lényegében lefedi a két lenti (ingyenesen elérhető) könyvből összesen az első három-három fejezet.

Az egyes előadások tartalma

A vizsgaanyagot Kiss Emil honlapján található diák definiálják. A vizsga írásbeli lesz, további információk a honlapon találhatók. Innen érhetők el a korábbi évek vizsgái is, melyek mintául szolgálhatnak. Az idei évben az előadáson lényegesen több fog elhangzani, mint amennyi a vizsgaanyag. Ennek ellenére az előadásra érdemes lesz bejárni és figyelni, esetleg jegyzetelni is.

1. előadás: szeptember 10. Bevezetés. Polinomok (\(\mathbb{R}\) fölött). Polinomok egyenlősége, együtthatói, konstans tagja, foka, főegyütthatója, normált polinom, a nullapolinom. Polinomok összege, különbsége, szorzata, a szorzat együtthatói. Az összeg és a szorzat foka, nullosztómentesség.

Behelyettesítés polinomba. Gyök, a gyöktényező kiemelhetősége. A Horner elrendezés, és szerepe a gyöktényező kiemelésénél.

2. előadás: szeptember 17. Racionális gyökteszt. A különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezők egyszerre is kiemelhetők. A gyökök száma legfeljebb a polinom foka. A polinomok azonossági tétele, ez érvényes végtelen integritási tartomány felett, de véges felett nem. A polinom és a polinomfüggvény fogalma közti különbség. A polinom formális deriváltja, \(k\)-szoros gyök fogalma, kapcsolatuk.

Nincs minden polinomnak valós gyöke, a komplex számok szükségessége, bevezetésük \(a+bi\) alakú formális kifejezésként. Valós és képzetes rész, egyértelműség. Összeadás, kivonás, szorzás. Asszociativitás, kommutativitás, disztributivitás, testaxiómák. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani. Konjugált, abszolút érték, kapcsolatuk, tulajdonságaik. Nullosztómentesség.

3. előadás: szeptember 24. A Gauss-féle számsík. A komplex számok összeadása a vektorösszeadásnak felel meg. Komplex szám hossza, szöge és trigonometrikus alakja. Szorzásnál a szögek összeadódnak, a hosszak összeszorzódnak. A háromszög-egyenlőtlenség. Elemi geometriai alkalmazások, mackósajtos feladat.

Komplex számok hatványozása. Gyökvonás komplex számból. A gyökök száma és elhelyezkedése. Az egységgyökök fogalma, száma, képlete. Nem nulla komplex szám rendje, mint a különböző hatványainak a száma, primitív egységgyökök.

Az algebra alaptétele (NB). A gyöktényezős alak. Az \(x^n-1\) polinom gyöktényezős alakja (gyakorlaton). Polinomok maradékos osztása, euklideszi algoritmus, a legnagyobb közös osztó felírása lineáris kombinációként (gyakorlaton).

4. előadás: október 1. A harmad- és negyedfokú egyenlet megoldási módszere, Cardano képlet. Casus irreduciblis, diszkusszió. A minimum 5-ödfokú egyenletre nincs gyökképlet (NB).

Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. Ha egyértelmű a megoldás, akkor az egyenletek száma legalább annyi, mint az ismeretlenek száma. Következmény: homogén egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása, ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen.

Az \(n\) magas (komplex) oszlopvektorok "tere", összeadás, skalárral szorzás. A mátrix általános fogalma, műveletek: összeadás, szorzás, skalárral szorzás, transzponált, műveleti tulajdonságok. Mátrix és vektor szorzata. Motiváció: lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja. Mátrixgyűrű test (illetve gyűrű) felett.

5. előadás: október 8. Hatványozás gyűrűben, azonosságok, gyűrűelem egész számszorosa. Nullosztó, minden test nullosztómentes. Művelettartó leképezés, lineáris leképezés. Gyűrűhomomorfizmus és izomorfizmus. A \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) gyűrű definíciója, ez pontosan akkor nullosztómentes ha test, és ez akkor igaz, ha \(n\) prímszám. Véges nullosztómentes gyűrű ferdetest. Ha egy kommutatív gyűrűben minden elem \(p\)-szerese nulla, akkor tagonként lehet \(p\)-edik hatványra emelni (\(p\) prím). Következmény: a kis Fermat-tétel.

Csoport definíciója, példák: gyűrű additív és multiplikatív csoportja. Homomorfizmus, izomorfizmus, részcsoport. Elem rendje, részcsoport rendje, Lagrange-tétel.

6. előadás: október 15. Permutáció, inverziók, előjel. Az előjelek szorzástétele. A páros permutációk száma, a szimmetrikus és az alternáló csoport. Ciklusfelbontás (gyakorlaton). Előjeles mérték, a paralelepipedon térfogata. A determináns definíciójának egyértelműsége. A determináns alaptulajdonságai, kiszámítása Gauss-eliminációval.

A transzponált mátrix determinánsa. Következmény: az oszlopokra teljesülő tulajdonságok a sorokra is érvényesek. A determinánsok szorzástétele. Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel.

október 22. az előadás helyén és idejében: Első évfolyamzárthelyi az 1-5. előadások anyagából


7. előadás: november 5. A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Következmény: négyzetes mátrixokra \(MN=E\) akkor és csak akkor, ha \(NM=E\). A Cramer-szabály és megfordítása. Vandermonde-determináns. Az inverz mátrix kiszámítása Gauss-eliminációval. Mátrix rangja (vezéregyesek száma Gauss-elimináció után), ez nem függ a Gauss-elimináció módjától. Összefüggés négyzetes mátrix rangja és determinánsa között.

A Lagrange-interpoláció. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések (részben gyakorlaton). Egységelemes, kommutatív gyűrű feletti polinomgyűrű, a többhatározatlanú polinom rekurzív definíciója. Fok, homogén polinom, lexikografikus rendezés.

8. előadás: november 12. A szimmetrikus polinomok alaptétele, egyértelműség. Hatványösszegek, Newton-Girard-formulák.

Számelméleti alapfogalmak általános gyűrűben: oszthatóság, asszociált, egység, irreducibilis és prím elem, kitüntetett közös osztó és többszörös. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak. A kitüntetett közös osztó kiemelési tulajdonsága, az alaptétel egyértelműségi állítása.

9. előadás: november 19. Az irreducibilitás jellemzése test fölötti polinomokra. Összefüggés gyök létezése és az irreducibilitás között test fölötti első, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében. A racionális gyökteszt. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám és a konjugáltja ugyanannyiszoros gyöke. Következmény: páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. Az irreducibilis polinomok \(\mathbb{C}\) fölött pontosan az elsőfokúak. \(\mathbb{R}\) fölött egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú, vagy ha másodfokú, de nincs valós gyöke. Az egész együtthatós polinomok számelmélete.

A Schönemann-Eisenstein kritérium. Következmény: racionális fölött akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik.

10. előadás: november 26. Primitív polinom, Gauss-lemma, a \(\mathbb{Z}[x]\) irreducibiliseinek leírása. A körosztási polinom definíciója és rekurzív kiszámítása. A körosztási polinom egész együtthatós és irreducibilis. Alkalmazás: Dirichlet tételének \(nk+1\) esete.

11. előadás: december 3. Racionális együtthatós polinomok Newton-poligonja, ennek segítségével irreducibilitási kritérium.

A rezultáns. A diszkrimináns. Valós együtthatók esetén összefüggés a diszkrimináns előjele és a valós gyökök száma között.

december 10. , az előadás helyén és idejében: Második évfolyamzárthelyi a 6-10. előadások anyagából