Processing math: 60%

Testek és algebrák

Az előadás

Az algebra kurzusok során először klasszikus, majd lineáris, végül absztrakt algebrát tanulunk. Az oktatás célja egyfajta gondolkodásmód és az algebrai módszerek bemutatása, a feladatmegoldási készség fejlesztése. Emelt szinten feltételezzük, hogy ez részben már megtörtént középiskolában, a Középiskolai Matematikai Lapok és középiskolás versenyfeladatok segítségével.

A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.

Az egyes előadások tartalma

Ebben a félévben absztrakt algebráról lesz szó, ezen belül főként Galois-elmélettel, gyűrű- és moduluselmélettel. Az alábbi tematika egyben vizsgatematika is. Az NB jelentése: a bizonyítás nem szerepelt, nem kell tudni a vizsgán.

1. előadás: február 10. $K$ -homomorfizmusok, $\operatorname{Hom}_K(K(\alpha),L)$ mint halmaz azonosítása $\alpha$ minimálpolinomjának $L$ -beli gyökeinek halmazával.

Tökéletes testek, $p$ -karakterisztikájú test pontosan akkor tökéletes, ha a $p$ -Frobenius szürjektív.

2. előadás: február 17. Szeparábilis elemek, jellemzésük $\operatorname{Hom}_K(K(\alpha),\overline{K})$ elemszámával. $K$ -homomorfizmusok kiterjesztése, $|\operatorname{Hom}_K(L,M)|\leq |L:K|$ . Ha $\alpha$ szeparábilis, akkor $K(\alpha)$ minden eleme az. Szeparábilis elemek résztestet alkotnak. Minden véges szeparábilis bővítés egyszerű. (Biz csak 5-ösért) Test multiplikatív csoportjának véges részcsoportja ciklikus. Galois-bővítések, ezek Galois-csoportja: $\operatorname{Hom}_K(L,L)$ , ekvivalens jellemzések.

3. előadás: február 24. Felbontási test fogalma, szeparábilis polinom felbontási teste Galois bővítés. A körosztási test foka és Galois-csoportja. A Kronecker-Weber tétel (NB). Egy elem $n$ -edik gyökével vett bővítésnek a Galois csoportja, ha az alaptest tartalmazza az $n$ -edik egységgyököket.

Minden (tökéletes) testnek létezik algebrai lezártja, és az izomorfia erejéig egyértelmű, de maga az izomorfizmus nem kanonikus. Tökéletes lezárt létezése.

4. előadás: március 3. A Galois-elmélet főtétele. Közbülső testek és részcsoportok kapcsolata. A Galois-csoport mint a polinom gyökeinek permutációcsoportja.

Véges testek elemszáma, létezése, egyértelműsége. Minden véges test tökéletes. Véges test véges bővítése mindig normális, a Galois-csoport ciklikus, a Galois-csoport generátoreleme, a közbülső testek száma és foka.

5. előadás: március 10. A kvadratikus reciprocitási tétel bizonyítása Gauss-ciklusokkal. (Biz. csak 5-ösért)

Wedderburn tételének bizonyítása (minden véges ferdetest kommutatív).

Geometriai szerkesztések. Az alapadatok által generált test. A szerkesztési lépések és a másodfokú bővítések kapcsolata. Komplex szám szerkeszthetősége. A szerkeszthető számok jellemzése: minimálpolinomjuk felbontási testének foka az alaptest felett 2-hatvány.

6. előadás: március 17. Konkrét szerkesztési feladatok megoldhatatlansága: kockakettőzés, szögharmadolás, körnégyszögesítés (NB). Szabályos sokszögek szerkeszthetősége.

Nulla karakterisztikájú test gyökökkel elérhető bővítése, a gyökkifejezés fogalma (erős és gyenge értelemben). Ha egy szám tágabb értelemben vett gyökkifejezés, akkor a minimálpolinomjának a Galois-csoportja feloldható. Az $x^5-4x+2$ polinom Galois-csoportja $S_5$ (Gy), és így nem oldható meg gyökjelekkel. Következmény: a legalább ötödfokú egyenletre nincs általános megoldóképlet. Kummer-elmélet (ha az alaptest tartalmazza a $n$ -edik egységgyököket, akkor minden $Z_n$ -nel izomorf Galois csoportú bővítés $n$ -edik gyök hozzávételével kapható). Artin-Schreier bővítések pozitív karakterisztikában (GY). ~~Minden egységgyök gyökkifejezés.~~ A gyökökkel megoldható polinomok jellemzése a Galois-csoport feloldhatóságával.

7. előadás: március 24. Egész elemek integritási tartomány fölött gyűrűt alkotnak. Minden algebrai elem egy egész és egy alapgyűrűbeli elem hányadosa. Minden alaptételes gyűrű egész-zárt. Ha egy testbővítés végesen generált, mint gyűrűbővítés, akkor algebrai. Következmény: algebrailag zárt test feletti $n$ -változós polinomgyűrű minden maximális ideálja ponthoz kötött.

8. előadás: március 31. Hilbert nullhelytétele. A Zariski-topológia alaptulajdonságai: az affin tér $T_1$ , noether, és kompakt, de nem Hausdorff (gyakorlaton: nem kell a bizonyítás vizsgára). Ha $I\lhd\mathbb{C}[x_1,\dots,x_n]$ egy ideál, akkor $\sqrt{I}$ előáll az $I$ -t tartalmazó maximális (ill. prím-) ideálok metszeteként. Transzcendenciafok.

A Jacobson radikál, mint a maximális balideálok metszete, ill. az egyszerű bal-modulusok annullátorának metszete, tehát ideál. Nakayama-lemma.

9. előadás: április 7. $J(R)$ Jacobson radikál azon $x$ -ek halmaza, melyekre $1-ax$ invertálható minden $a\in R$ -re. Ekkor $1-axb$ is invertálható, mivel $J(R)$ kétoldali ideál. Következmény: $J(R)$ bal-jobb szimmetrikus, és tartalmaz minden nilpotens balideált.

Féligegyszerű modulusok, ekvivalens jellemzések.

10. előadás: április 14. Modulus talpa. Féligegyszerű gyűrűk. Egy $R$ gyűrű pontosan akkor féligegyszerű, ha minden (bal-) $R$ -modulus féligegyszerű/projektív/injektív.

Egy $R$ gyűrű pontosan akkor féligegyszerű, ha bal-Artin és $J(R)=0$ . Schur lemma.

11. előadás: április 28. Jacobson sűrűségi tétele. Wedderburn tétele: minden test feletti végesdimenziós egyszerű algebra ferdetest feletti mátrixgyűrű.

Féligegyszerű modulusok homogén felbontása, a Wedderburn-Artin tétel.

12. előadás: május 7. A csoportalgebra, Maschke tétele. Csoportreprezentációk, mint a csoportalgebra fölötti modulusok.

13. előadás: május 14. Kategóriák és funktorok. Természetes transzformációk. Példák.

A vizsga

A vizsga szóbeli lesz, célja annak megállapítása, hogy a vizsgázó érti-e az anyagot. A gyakorlatok (és a konzultációk) segítenek a vizsgára való felkészülésben is.

A vizsgán mindenki egy tételt húz, ami mellé kap egy (a gyakorlaton szerepelt) feladatot is. Részletek később a vizsgatematikában.

Elsődlegesen ajánlott irodalom

A két fő tankönyv lineáris algebrából az [1], az anyag többi részéből a [3]. Ezek mindegyike feladatgyűjtemény is egyben. A [2] és [4] kiegészítő feladatgyűjtemények.

[1]	Freud Róbert: Lineáris Algebra (ELTE kiadó).
[2]	Fagyejev-Szominszkij: Felsőfokú algebrai feladatok (TypoTeX kiadó, 2000).
[3]	Kiss Emil: Bevezetés az algebrába (TypoTeX kiadó, 2007)
[4]	Szendrei-Czédli-Szendrei: Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó).

További ajánlott irodalom

Számelméleti ismeretekre állandóan szükség van, ezek a [6] könyvből tanulhatók meg. A logikai készségek gyakorlásához és tudatosításához a [8] könyv nyújt segítséget. A [9], [10] könyvek a matematikáról szólnak mindenkinek (még a laikus barátoknak is). A Galois-elméletes részhez a [11]-es jegyzet lehet nagyon hasznos (sajnos angolul van). A csoportreprezentációkhoz pedig a [12]-est tudnám ajánlani.

[5]	Fried Ervin: Algebra I-II (Tankönyvkiadó).
[6]	Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet (Tankönyvkiadó).
[7]	Fuchs László: Algebra (egyetemi jegyzet).
[8]	Varga Tamás: Matematikai logika kezdőknek I-II (Tankönyvkiadó).
[9]	Rényi Alfréd: Ars Mathematica (Magvető Könyvkiadó).
[10]	Péter Rózsa: Játék a végtelennel (Tankönyvkiadó).
[11]	James Milne: Fields and Galois Theory.
[12]	Philippe Gille, Tamás Szamuely: Central simple algebras and Galois cohomology (2nd Ed., Cambridge Studies in Advanced Mathematics 165).

A gyakorlat:

(Kedd 16-17, ill. 17-18, mindkét csoportot Kiss Zsombor vezeti)

A gyakorlat kis csoportokban zajlik, az elméleti anyag megértésére szolgál önálló feladatmegoldás segítségével. A gyakorlat előtt mindenki nézze át az előadás anyagát, és értse meg a fogalmakat és a tételeket.

Minden héten lesz kötelezően beadandó házi feladat, mely beleszámít a jegybe. Erre a tárgyra nincs külön gyakorlati- és vizsgajegy.

Feladatsorok

1. Feladatsor (Február 11.)
2. Feladatsor (Február 18.)
3. Feladatsor (Február 25.)
4. Feladatsor (Március 4.)
5. Feladatsor (Március 11.)
6. Feladatsor (Április 1.)
7. Feladatsor (Április 8.)