Ez a kurzus bevezetést szeretne nyújtani a matematika egyik legrégebbi területébe, az algebrai számelméletbe. Annak ellenére, hogy a Fermat-sejtést - mely többszáz éven keresztül az algebrai számelméleti kutatás fő motivációját szolgálta - 20 éve bebizonyította Andrew Wiles, a terület azóta is rohamosan fejlődik. Célunk természetesen nem lesz olyan ambíciózus, hogy a fenti sejtést igazoljuk, hanem inkább egy klasszikus eredményre, az ún. Kronecker-Weber-tételre fogunk koncentrálni. Ez azt mondja ki, hogy ha a \mathbb{Q}\subseteq F\subset\mathbb{C} véges testbővítés normális, és a \mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q}) Galois csoportja kommutatív, akkor van egy olyan n egész szám, melyre F\subseteq \mathbb{Q}(\zeta_n), ahol \zeta_n egy primitív n-edik egységgyök. A kurzus egyik fő célja, ennek a tételnek a bizonyítása, melynek során megismerjük az algebrai számelmélet alapvető fogalmait és módszereit. A tételt az ún. ,,lokális'' (a p-adikus számok \mathbb{Q}_p testére vonatkozó) Kronecker-Weber-tételből bizonyítjuk, rámutatva a lokál-globál elv fontosságára a számelméletben.
1. előadás: február 11. Bevezetés. A kvadratikus reciprocitási tétel bizonyítása Gauss-ciklusokkal.
Egész elemek gyűrűbővítésben, ezek részgyűrűt alkotnak. Egész lezárt. Nyom, norma, Hilbert 90-es tétele, a normál-bázis tétel. Bázis diszkriminánsa.
A február 18-ai előadás és gyakorlat elmarad (külföldön leszek).
2. előadás: február 25. Egész bázis, számtestek diszkriminánsa. Törtideálok, mint végesen generált \mathcal{O}_K-részmodulusok, ezek diszkriminánsa, kapcsolat az indexszel. \mathcal{O}_K Dedekind gyűrű, azaz noether, egészre zárt, és 1-dimenziós (minden nem nulla prímideál maximális).
Dedekind gyűrűben egyértelmű prímfelbontás a(z tört)ideálokra. Osztálycsoport.
3. előadás: március 4. \mathbb{Z}-rácsok \mathbb{R}^n-ben, fundamentális tartományok. Térfogat. Minkowski-féle rácsponttétel.
Konjugálás-invariáns bilineáris forma K_{\mathbb{C}}=K\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{C}-n, K_{\mathbb{R}}\subset K_{\mathbb{C}} a konjugálás-invariáns altér mint Minkowski-tér. Az \mathcal{O}_K által meghatározott rács, ennek fundamentális tartományának a térfogata. Abszolút norma, az osztályszám végessége. Alsóbecslés a diszkriminánsra. Dirichlet-féle egységtétel (gyakorlaton).
4. előadás: március 11. Dedekind gyűrűk bővítései. Prímideálok felbontása a nagyobb gyűrűben, elágazási index, inerciafok. Fundamentális egyenlet. Teljesen felbomló, elágazásmentes, illetve, teljesen elágazó prímek. Egyszerű gyűrűbővítés esetén kapcsolat a minimálpolinom mod p felbontásával. Galois-bővítés esetén Galois-hatás a p feletti prímeken, tranzitivitás.
5. előadás: március 18. Hilbert-féle elágazáselmélet, felbontási részcsoport a Galois-csoportban, felbontási test. Homomorfizmus a mod p Galois-csoportba, inerciarészcsoport, Frobenius felemelt. Körosztási testek, Fermat-sejtés reguláris prímekre (gyakorlaton).
6. előadás: március 25. Kommutatív gyűrű prímidieáljánál vett lokalizálás. Diszkrét értékelésgyűrűk (DVR), Weierstrass előkészítési tételének analógja. Értékelések. Dedekind gyűrű lokalizáltja is Dedekind, sőt, egy noether-féle integritási tartomány pontosan akkor Dedekind, ha lokálisan DVR. Osztálycsoport és a lokalizálás kapcsolata (egzakt sorozat). Egy prím akkor és csak akkor ágazik el, ha osztója a diszkriminánsnak.
7. előadás: április 1. Abszolútértékek, approximáció. Arkhimédeszi és nem-arkhimédeszi értékelések, ultrametrika. Ostrowski tétele \mathbb{Q} értékeléseiről. Kapcsolat a DVR-ekkel. Telítés, a p-adikus számok teste. Egész elemek.
8. előadás: április 8. Projektív és injektív limesz, egzaktsági tulajdonságok. Nemüres kompakt halmazok inverz limesze nemüres és kompakt. Hensel lemma.
9. előadás: április 15. Multiplikatív (Teichmüller-) reprezentánsok. Értékelések kiterjesztése, egyértelműség. Lokális testek. p-adikus log és exp, a multiplikatív csoport leírása. Newton-poligonok.
10. előadás: április 29. Hensel-féle testek, szelíden elágazó bővítések, magasabb elágazási részcsoportok.
11. előadás: május 6. A lokális Kronecker-Weber tétel bizonyítása.
12. előadás: május 13. A globális Kronecker-Weber tétel bizonyítása.
13. előadás: május 13. (a gyakorlat helyett) További témák, kitekintés, mese a Langlands programról.
A gyakorlaton az előadáshoz kapcsolódó feladatokat fogunk megoldani. A feladatokat mindig az előadás hetén fogom kiosztani, de megbeszélni csak a következő héten fogjuk őket, ezek mind "házi feladatok", melyek beadásával lehet megszerezni a gyakorlati jegyet.