Algebrai számelmélet II. (Fejezetek az algebrából)
Csütörtök 10-12
Általános tudnivalók, tematika
Az előadás várhatóan angolul lesz. Ebben a félévben főként lokális osztálytest-elmélettel fogunk
foglalkozni. Az első néhány előadáson bevezetjük a
csoport(ko)homológia fogalmát, majd rátérünk a
Galois-kohomológiára. Ezután absztrakt Galois-elmélettel foglalkozunk,
definiáljuk az osztályformációkat. Axiomatizáljuk az általános
osztálytest-elméletet, majd speciális esetként belátjuk a lokális
osztálytest-elmélet főtételét. A felépített elméletből
nemcsak a lokális, de a globális Kronecker-Weber tétel is következik
(azaz, hogy Q minden véges Galois-bővítése, melynek
Galois-csoportja kommutatív, az n-edik körosztási polinommal vett
bővítésnek részteste valamilyen n-re).
A félév második felében a hallgatóság érdeklődése szerint a
következő témák valamelyikéről lesz szó:
(1) Globális osztálytest-elmélet. Bevezetjük az adélek és
idélek fogalmát, bebizonyítjuk a globális reciprocitási
tételt. Ha idő engedi, megvizsgáljuk a kapcsolatot
L-függvényekkel is. Ez egy klasszikus elmélet, melynek (főleg az adelikus
szemléletnek) sok haszna lehet, ha valaki analitikus számelmélettel szeretne
foglalkozni.
(2) p-adikus Galois-reprezentációk. Bebizonyítjuk J.-M. Fontaine
híres tételét, mely szerint a p-adikus testek p-adikus (véges
dimenziós) reprezentációinak kategóriája ekvivalens az
ún. (φ,Γ)-modulusok kategóriájával. Ez a p-adikus
Langlands program egyik kiindulópontja számos megoldatlan
problémával.
Szükséges előismeretek:
Alapvető csoport-, gyűrű- és Galois-elméleti ismeretek, a p-adikus
számok ismerete. Hasznos lehet még némi homologikus algebra. Az Algebrai Számelmélet
I. c. kurzusból fel fogunk használni néhány ott bizonyított állítást, de
ezeket újra kimondjuk, a felhasznált fogalmakat definiáljuk.
A vizsga
A vizsgán mindenki egy tételt kap, amit bizonyítani kell.
Ajánlott irodalom
[1] Jürgen Neukirch: Algebraische
Zahlentheorie (Springer, 1992) (létezik angol fordításban is,
Algebraic Number Theory címen).
[2] Serge Lang: Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics
110 (Springer, 1970, 1986, 1994).
[3] Jean-Pierre Serre: Local Fields, Graduate Texts in Mathematics 67, (Springer, 1979, 2nd editition
1995) (létezik francia eredetiben is Corps locaux (Hermann, Paris)
címen).
[4] James Milne: Class Field Theory, online jegyzet
[5] Jean-Marc Fontaine: Représentations p-adiques. Proceedings of the
International Congress of Mathematicians, August 16-24 1983, Warszawa,
vol. 1, 475-486. (Csak a (2)-es verzióhoz.)
[6] Torsten Schoeneberg: p-adische Galoisdarstellungen
und (φ,Γ)-Moduln, Diplomarbeit, Münster, 2009, elérhető
online (Csak a (2)-es verzióhoz.)
Vissza