A modern matematikában a nehezebb problémák megoldásához sokszor egész elméleteket kell felépíteni. Eközben új fogalmak is bevezetésre kerülnek, amelyek egymásra épülnek. Ezért már egyetlen előadás elmulasztása is azt eredményezheti, hogy a következő héten egy hangot sem értünk. Az előadásokon igyekszünk azt is elmondani, hogy mit miért (és miért épp így) csinálunk, mi az egyes fogalmak, tételek háttere, emberi tartalma, hogyan lehet a gondolatokra rájönni. Ez a vizsgán nagyon hasznos lehet, ezért az előadások látogatását javasolom. Ha valaki az előadáson nem tud részt venni, a gyakorlatra akkor is meg kell érteni az elhangzott fogalmakat és tételeket.
1. előadás: szeptember 13. Bevezetés. A harmadfokú egyenlet kérdése, a komplex számok szükségessége, bevezetésük a+bi alakú formális kifejezésként, illetve rendezett párokkal. Valós és képzetes rész, egyértelműség. Összeadás, kivonás, szorzás. Asszociativitás, kommutativitás, disztributivitás, testaxiómák. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani. Konjugált, abszolút érték, kapcsolatuk, tulajdonságaik. Nullosztómentesség.
A Gauss-féle számsík. A komplex számok összeadása a vektorösszeadásnak felel meg. Komplex szám hossza, szöge és trigonometrikus alakja. Szorzásnál a szögek összeadódnak, a hosszak összeszorzódnak. A háromszög-egyenlőtlenség. Komplex számok hatványozása. Gyökvonás komplex számból. A gyökök száma és elhelyezkedése. Az egységgyökök fogalma, száma, képlete. Nem nulla komplex szám rendje, mint a különböző hatványainak a száma, primitív egységgyökök.
2. előadás: szeptember 20. Test feletti polinomok. Gyűrű definíciója. Polinomok egyenlősége, együtthatói, konstans tagja, foka, főegyütthatója, normált polinom, a nullapolinom. Polinomok összege, különbsége, szorzata, a szorzat együtthatói. Az összeg és a szorzat foka, nullosztómentesség. A polinomok sorozatos bevezetése.
Behelyettesítés polinomba. Gyök, a gyöktényező kiemelhetősége. A Horner elrendezés, és szerepe a gyöktényező kiemelésénél. A különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezők egyszerre is kiemelhetők. A gyökök száma legfeljebb a polinom foka. A polinomok azonossági tétele, ez érvényes végtelen integritási tartomány felett, de véges felett nem. A polinom és a polinomfüggvény fogalma közti különbség. A polinom formális deriváltja, k-szoros gyök fogalma, kapcsolatuk.
3. előadás: szeptember 27. Az algebra alaptétele (NB). A gyöktényezős alak. Az xn-1 polinom gyöktényezős alakja (gyakorlaton). Polinomok maradékos osztása, euklideszi algoritmus, a legnagyobb közös osztó felírása lineáris kombinációként (gyakorlaton). A harmad- és negyedfokú egyenlet megoldási módszere, Cardano képlet. Casus irreduciblis, diszkusszió. A minimum 5-ödfokú egyenletre nincs gyökképlet (NB).
Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. Ha egyértelmű a megoldás, akkor az egyenletek száma legalább annyi, mint az ismeretlenek száma. Következmény: homogén egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása, ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen.
4. előadás: október 4. Az n magas (komplex) oszlopvektorok "tere", összeadás, skalárral szorzás. Vektortér definíciója. A mátrix általános fogalma, műveletek: összeadás, szorzás, skalárral szorzás, transzponált, műveleti tulajdonságok. Mátrix és vektor szorzata. Motiváció: lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja. Mátrixgyűrű test (illetve gyűrű) felett.
Hatványozás gyűrűben, azonosságok, gyűrűelem egész számszorosa. Nullosztó, minden test nullosztómentes. Művelettartó leképezés, lineáris leképezés. Gyűrűhomomorfizmus és izomorfizmus. A Z/nZ gyűrű definíciója, ez pontosan akkor nullosztómentes ha test, és ez akkor igaz, ha n prímszám. Véges nullosztómentes gyűrű ferdetest. Ha egy kommutatív gyűrűben minden elem p-szerese nulla, akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni (p prím). Következmény: a kis Fermat-tétel.
5. előadás: október 11. Csoport definíciója, példák: gyűrű additív és multiplikatív csoportja. Homomorfizmus, izomorfizmus, részcsoport. Elem rendje, részcsoport rendje, Lagrange-tétel. Permutáció, inverziók, előjel. Az előjelek szorzástétele. A páros permutációk száma, a szimmetrikus és az alternáló csoport. Ciklusfelbontás (gyakorlaton).
Előjeles mérték, a paralelepipedon térfogata. A determináns definíciójának egyértelműsége. A determináns alaptulajdonságai, kiszámítása Gauss-eliminációval.
6. előadás: október 18. A transzponált mátrix determinánsa. Következmény: az oszlopokra teljesülő tulajdonságok a sorokra is érvényesek. A determinánsok szorzástétele. Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel. A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Következmény: négyzetes mátrixokra MN=E akkor és csak akkor, ha NM=E. A Cramer-szabály és megfordítása. Vandermonde-determináns. Az inverz mátrix kiszámítása Gauss-eliminációval.
Az altér fogalma és jellemzése a műveletekre való zártság segítségével. A generált altér mint adott elemeket tartalmazó legszűkebb altér; generátorrendszer. A generált altér elemeinek jellemzése: lineáris kombináció.
Első évfolyamzárthelyi az 1-5. előadások anyagából: október 21 (péntek), 16:00
7. előadás: október 25. Véges és végtelen vektorrendszer lineáris függetlensége. A lineáris függés és függetlenség kapcsolata. A függés tranzitivitása, a kicserélési tétel. Független rendszer elemszáma legfeljebb akkora lehet, mint egy generátorrendszeré. A bázis fogalma, elemszámának egyértelműsége, dimenzió.
Lineáris függetlenség eldöntése egyenletrendszer megoldásával. A determináns eltűnésének jellemzése. Vektorrendszer rangja. Mátrix sor-, oszlop- és determinánsrangja, ezek egyenlősége. A rang kiszámítása Gauss-elimináció segítségével. Összeg és szorzat rangja. Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának, és a megoldás egyértelműségének jellemzése a rang segítségével.
Végtelen dimenziós vektorterek. Zorn-Lemma. (NB) Minden vektortérnek van bázisa. Sőt, független rendszer kiegészíthető bázissá, generátorrendszerből kiválasztható bázis.
8. előadás: november 8. A Lagrange-interpoláció. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések (részben gyakorlaton). Egységelemes, kommutatív gyűrű feletti polinomgyűrű, a többhatározatlanú polinom rekurzív definíciója. Fok, homogén polinom, lexikografikus rendezés. A szimmetrikus polinomok alaptétele, egyértelműség. Hatványösszegek, Newton-Girard-formulák.
9. előadás: november 15. Számelméleti alapfogalmak általános gyűrűben: oszthatóság, asszociált, egység, irreducibilis és prím elem, kitüntetett közös osztó és többszörös. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak. A kitüntetett közös osztó kiemelési tulajdonsága, az alaptétel egyértelműségi állítása.
Az irreducibilitás jellemzése test fölötti polinomokra. Összefüggés gyök létezése és az irreducibilitás között test fölötti első, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében. A racionális gyökteszt. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám és a konjugáltja ugyanannyiszoros gyöke. Következmény: páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. Az irreducibilis polinomok C fölött pontosan az elsőfokúak. Valós fölött egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú, vagy ha másodfokú, de nincs valós gyöke. Az egész együtthatós polinomok számelmélete. Primitív polinom, Gauss-lemma, a Z[x] irreducibiliseinek leírása.
10. előadás: november 22. Általánosítás: ha R alaptételes, akkor R[x] is az. (NB) Következmény: Z[x1,...,xn] és K[x1,...,xn] alaptételes, ahol K test. A Schönemann-Eisenstein kritérium. Következmény: racionális fölött akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik. A körosztási polinom definíciója és rekurzív kiszámítása. Ez a polinom egész együtthatós és irreducibilis. Alkalmazás: Dirichlet tételének nk+1 esete.
A rezultáns.
11. előadás: november 29. A diszkrimináns. Valós együtthatók esetén összefüggés a diszkrimináns előjele és a valós gyökök száma között.
Alterek összege vektortérben, dimenziójuk. Vektorterek (belső) direkt összege. Direkt kiegészítő létezése.
Lineáris leképezések. Kép, mag, dimenziótétel. Mellékosztályok, faktortér.
12. előadás: december 6. Izomorfizmus, két végesdimenziós vektortér pontosan akkor izomorf, ha ugyanannyi a dimenziójuk. Homomorfizmustétel. Hom(V,W) mint vektortér. Duális tér, V** természetesen izomorf V-vel, az izomorfizmus nem függ a bázis választásától. Leképezés mátrixa, Hom(V,W) azonosítása az n-szer k-as mátrixokkal. Szorzat a kompozíció, mátrixszorzás asszociativitásának új bizonyítása. Áttérés más bázisra. Véges és végtelen sok vektortér (külső) direkt összege és direkt szorzata.
Második évfolyamzárthelyi a 6-11. előadások anyagából: december 9 (péntek), 16:00
A vizsgán mindenki egy tételpárt húz. Ezek egyike egy bizonyítás ismertetése, a másik néhány tételt felölelő téma, ahol a definíciókat, az eredmények összefüggéseit kell elmondani (de a bizonyításokba itt is belekérdezhet a vizsgáztató). Az átmenéshez mindkét tételt legalább elégséges szinten tudni kell.
| [1] | Freud Róbert:
Lineáris Algebra (ELTE kiadó). |
|---|---|
| [2] | Fagyejev-Szominszkij:
Felsőfokú algebrai feladatok (TypoTeX kiadó, 2000). |
| [3] | Kiss Emil:
Bevezetés az algebrába (TypoTeX kiadó, 2007) |
| [4] | Szendrei-Czédli-Szendrei:
Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó). |
| [5] | Fried Ervin:
Algebra I-II (Tankönyvkiadó). |
|---|---|
| [6] | Freud Róbert,
Gyarmati Edit: Számelmélet (Tankönyvkiadó). |
| [7] | Fuchs László:
Algebra (egyetemi jegyzet). |
| [8] | Varga Tamás: Matematikai logika
kezdőknek I-II (Tankönyvkiadó). |
| [9] | Rényi Alfréd:
Ars Mathematica (Magvető Könyvkiadó). |
| [10] | Péter Rózsa:
Játék a végtelennel (Tankönyvkiadó). |
A gyakorlat kis csoportokban zajlik, az elméleti anyag megértésére szolgál önálló feladatmegoldás segítségével. A gyakorlatra kötelező járni, egy félévben legfeljebb három hiányzás megengedett. Ha háromnál több hiányzás van, az nem elégtelen gyakorlati jegyet jelent, hanem aláírásmegtagadást, ilyenkor tehát a gyakorlatot újra kell járni, és persze vizsgázni sem lehet. A gyakorlat előtt mindenki nézze át az előadás anyagát, és értse meg a fogalmakat és a tételeket.
Két évfolyamzárthelyit írunk, amelyek hat (esetleg hét) feladatot tartalmaznak, mindegyik 1 pontot ér. A zárthelyin csak egy maximum egy oldalas kézzel írott puska használható. A zárthelyi jegye a pontszám egészrésze, az átmenéshez mindkét zh-n legalább elégségest kell szerezni. Amennyiben mindkét zh-n legalább elégséges jegy született, a gyakorlati jegy minimum a két zh átlagának (alsó) egészrésze. Ennél jobbat órai munka, illetve esetlegesen beadott nehezebb (csillagos feladatok) alapján lehet kapni. Ezeket a feladatokat a félév során kell beadni, és NEM a két zh megírása után, amikor esetlegesen rájöttünk, hogy a gyakorlati jegy nem lesz olyan, mint amilyennek elképzeltük. A javító zh-knak (sok kollégámmal ellentétben, de sok más kollégámmal egyetértésben) nem vagyok híve, mert véleményem szerint a gyakorlati jegy az egész féléves teljesítményt kell tükrözze. Továbbá meggyőződésem, hogy a tananyagot leginkább óráról órára készülve, és nem a zh/vizsga előtt pár nappal lehet elsajátítani. Ennek megfelelően pót-zh-ra csak abban az esetben van lehetőség, ha valaki valamelyik zh-t nem írta meg, viszont egyébként (a zh-ról való hiányzással együtt) nem hiányzott 3-nál többet. A javító zh-t csak rendkívül indokolt esetben tartom elképzelhetőnek, ha valakinek az egyik zh-ja sokkal rosszabbul sikerült, mint a másik, és az órai jó teljesítménye ezt indokolja.
Azoknak, akik (elsőre) elégtelen gyakorlati jegyet szereztek, természetesen lehetőségük lesz egyszeri javítási lehetőségre gyakjegy-UV formájában.